Mengenfolge/Disjunkte Version/Aufgabe/Lösung

a) Wegen ${}S_{n}\subseteq T_{n}$ gilt ${}\supseteq$. Zum Nachweis der umgekehrten Inklusion sei ${}x\in \bigcup _{i=1}^{n}T_{i}$. Dann gibt es ein ${}i$ zwischen ${}1$ und ${}n$ mit ${}x\in T_{i}$ und damit auch ein minimales ${}k$ mit dieser Eigenschaft. Es ist also ${}x\in T_{k}$, aber ${}x\not \in T_{i}$ für ${}i<k$. Damit ist ${}x\in T_{k}\setminus \bigcup _{i=1}^{k-1}T_{i}=S_{k}$ und insbesondere ${}x\in \bigcup _{i=1}^{n}S_{i}$.

b) Sei ${}k\neq n$ und sagen wir ${}k<n$.

Es sei ${}x\in S_{n}=T_{n}\setminus \bigcup _{i=1}^{n-1}T_{i}$. Dann ist ${}x\in T_{n}$ und ${}x\not \in T_{i}$ für ${}i<n$. Also ist insbesondere ${}x\not \in T_{k}$ und damit auch ${}x\not \in S_{k}$. Also sind ${}S_{n}$ und ${}S_{k}$ disjunkt.

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