Beweis
Es sei zuerst
eine
-Algebra. Wegen
-
![{\displaystyle {}S\cap T=M\setminus (M\setminus S\cup M\setminus T)\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d668d8ab42f38d89e6fc41c053d05226c5aca77e)
ist diese duchschnittsstabil und es gilt für
auch
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![{\displaystyle {}T\setminus S=T\cap (M\setminus S)\,,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/02f7a30998050f233cb2fb2670e8f2188ba3916a)
daher liegt ein durchschnittsstabiles Dynkin-System vor.
Es liege nun umgekehrt ein durchschnittsstabiles Dynkin-System vor. Die Abgeschlossenheit unter Komplementbildung gilt direkt. Es sei
,
,
eine abzählbare Familie von Mengen aus
, von der wir direkt annehmen können, dass sie durch die positiven natürlichen Zahlen indiziert ist. Wir schreiben
-
![{\displaystyle {}S_{n}=T_{n}\cap (M\setminus T_{1})\cap (M\setminus T_{2})\cap \ldots \cap (M\setminus T_{n-1})\,.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/324be3d12a6f148e7d9f577b78c5fe6b702b0b04)
Diese gehören zu
und es gilt
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![{\displaystyle {}\bigcup _{n\in \mathbb {N} _{+}}T_{n}=\bigcup _{n\in \mathbb {N} _{+}}S_{n}\,,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/aaf29bcba92f3a79d639eea03916b5533606f0e4)
wobei die zweite Vereinigung disjunkt ist und daher zum System gehört.