Mengensystem/Durchschnittsstabiles Dynkin-System und Sigmaalgebra/Fakt/Beweis
Erscheinungsbild
Beweis
Es sei zuerst eine -Algebra. Wegen
ist diese duchschnittsstabil und es gilt für auch
daher liegt ein durchschnittsstabiles Dynkin-System vor.
Es liege nun umgekehrt ein durchschnittsstabiles Dynkin-System vor. Die Abgeschlossenheit unter Komplementbildung gilt direkt. Es sei , , eine abzählbare Familie von Mengen aus , von der wir direkt annehmen können, dass sie durch die positiven natürlichen Zahlen indiziert ist. Wir schreiben
Diese gehören zu und es gilt
wobei die zweite Vereinigung disjunkt ist und daher zum System gehört.