Mengentheorie/Einfache Mengengesetze/Aufgabe/Kommentar

Hier ist die Gleichheit von Mengen zu zeigen. Nach dem Extensionalitätsprinzip stimmen zwei Mengen überein, wenn sie die gleichen Elemente enthalten. Um die Gleichheit zu zeigen müssen wir also zeigen, dass jedes Element der einen Menge in der anderen enthalten ist und umgekehrt.

Wenn wir eine Aussage für jedes Element einer Menge zeigen wollen, nehmen wir uns ein Platzhalterelement als Vertreter her und zeigen die Aussage dafür. Wichtig ist dafür, dass wir das Element beliebig halten und nicht etwa auf ein bestimmtes Element einschränken. Nur so können wir aus dem Beweis für den Platzhalter die Aussage allgemein folgern.

Wir führen das exemplarisch für die erste Gleichheit vor.

Zunächst sei ${}x\in A\cup \emptyset$. Wir nennen den Platzhalter also ${}x$. Die mathematische Aussage ${}x\in A\cup \emptyset$ bedeutet, dass ${}x\in A$ ist oder ${}x\in \emptyset$. Wir führen eine Fallunterscheidung. Der Fall ${}x\in \emptyset$ aber kann nicht auftreten, da die leere Menge ${}\emptyset$ genau dadurch definiert wurde, dass sie keine Elemente enthält. In jedem möglichen Fall also folgt aus ${}x\in A\cup \emptyset$, dass ${}x\in A$ ist. Also haben wir die Richtung ${}A\cup \emptyset \subseteq A$ gezeigt.

Betrachten wir als Nächstes die andere Richtung und nehmen dafür ein Element ${}x\in A$. Da ${}x\in A$ angenommen wird folgt insbesondere, dass ${}x\in A$ oder ${}x\in \emptyset$ ist, auch wenn davon immer der erste Fall erfüllt ist. Also gilt ${}x\in A\cup \emptyset$ und damit haben wir ${}A\subseteq A\cup \emptyset$ gezeigt.

Aus diesen beiden Teilbeweisen zusammen ergibt sich, dass ${}A\cup \emptyset =A$ gilt.

Zur kommentierten Aufgabe