Mengentheorie/Endlich viele Mengen/Mögliche Durchschnitte/Aufgabe/Lösung

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a) Da die Wiederholung einer Menge in einem Durchschnitt den Durchschnitt nicht ändert, und da ist, muss man nur Durchschnitte betrachten, wo jede Menge maximal einmal vorkommt, und zwar entweder selbst oder ihr Komplement. Da nur endlich viele Mengen zur Verfügung stehen, gibt es nur endlich viele Durchschnitte.

b) Es seien die nichtleeren Mengen aus derart, dass es zwischen und keine weiteren Mengen aus gibt. Diese Mengen sind zueinander disjunkt, da ein Durchschnitt nach Konstruktion zu gehört und bei echt in enthalten sein muss, also leer sein muss. Jedes Element liegt entweder in oder in und somit in einer Schnittmenge der Form

für eine gewisse Teilmenge . Solche Mengen sind minimal in , da jede Menge verarbeitet ist. Zu gibt es daher auch ein mit . Wegen der Wahl der ist dann aber direkt . Wenn eine weitere Familie mit den angegebenen Eigenschaften wäre, so gäbe es für jedes ein mit nichtleerem Durchschnitt. Dann ist direkt und somit gilt Gleichheit.

c) Sei gegeben. Bei nimmt man die leere Vereinigung. Sei also . Bei ist sogar ,

und ist die Vereinigung dieser .
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