Mengentheorie/Endlich viele Mengen/Mögliche Durchschnitte/Aufgabe/Lösung

a) Da die Wiederholung einer Menge in einem Durchschnitt den Durchschnitt nicht ändert, und da ${}T_{j}\cap {\left(M\setminus T_{j}\right)}=\emptyset$ ist, muss man nur Durchschnitte betrachten, wo jede Menge maximal einmal vorkommt, und zwar entweder selbst oder ihr Komplement. Da nur endlich viele Mengen zur Verfügung stehen, gibt es nur endlich viele Durchschnitte.

b) Es seien ${}A_{1},\ldots ,A_{m}$ die nichtleeren Mengen aus ${}{\mathcal {A}}$ derart, dass es zwischen ${}\emptyset$ und ${}A_{\ell }$ keine weiteren Mengen aus ${}{\mathcal {A}}$ gibt. Diese Mengen sind zueinander disjunkt, da ein Durchschnitt ${}A_{\ell }\cap A_{\ell '}$ nach Konstruktion zu ${}{\mathcal {A}}$ gehört und bei ${}\ell \neq \ell '$ echt in ${}A_{\ell }$ enthalten sein muss, also leer sein muss. Jedes Element ${}x\in M$ liegt entweder in ${}T_{j}$ oder in ${}M\setminus T_{j}$ und somit in einer Schnittmenge der Form

$\bigcap _{j\in J}T_{j}\cap \bigcap _{j\in \{1,\ldots ,n\}\setminus J}M\setminus T_{j}$

für eine gewisse Teilmenge ${}J\subseteq \{1,\ldots ,n\}$. Solche Mengen sind minimal in ${}{\mathcal {A}}$, da jede Menge ${}T_{j}$ verarbeitet ist. Zu ${}A\neq \emptyset$ gibt es daher auch ein ${}A_{\ell }$ mit ${}A\cap A_{\ell }\neq \emptyset$. Wegen der Wahl der ${}A_{\ell }$ ist dann aber direkt ${}A_{\ell }\subseteq A$. Wenn ${}B_{1},\ldots ,B_{m'}$ eine weitere Familie mit den angegebenen Eigenschaften wäre, so gäbe es für jedes ${}B_{\ell '}$ ein ${}A_{\ell }$ mit nichtleerem Durchschnitt. Dann ist direkt ${}A_{\ell }\subseteq B_{\ell '}$ und somit gilt Gleichheit.

c) Es sei ${}T_{j}$ gegeben. Bei ${}T_{j}=\emptyset$ nimmt man die leere Vereinigung. Es sei also ${}T_{j}\neq \emptyset$. Bei ${}T_{j}\cap A_{\ell }\neq \emptyset$ ist sogar ${}T_{j}\supseteq A_{\ell }$,

und ${}T_{j}$ ist die Vereinigung dieser ${}A_{\ell }$.

Zur gelösten Aufgabe