a) Da die Wiederholung einer Menge in einem Durchschnitt den Durchschnitt nicht ändert, und da
ist, muss man nur Durchschnitte betrachten, wo jede Menge maximal einmal vorkommt, und zwar entweder selbst oder ihr Komplement. Da nur endlich viele Mengen zur Verfügung stehen, gibt es nur endlich viele Durchschnitte.
b) Es seien
die nichtleeren Mengen aus
derart, dass es zwischen
und
keine weiteren Mengen aus
gibt. Diese Mengen sind zueinander disjunkt, da ein Durchschnitt
nach Konstruktion zu
gehört und bei
echt in
enthalten sein muss, also leer sein muss. Jedes Element
liegt entweder in
oder in
und somit in einer Schnittmenge der Form
-
für eine gewisse Teilmenge
. Solche Mengen sind minimal in
, da jede Menge
verarbeitet ist. Zu
gibt es daher auch ein
mit
. Wegen der Wahl der
ist dann aber direkt
.
Wenn
eine weitere Familie mit den angegebenen Eigenschaften wäre, so gäbe es für jedes
ein
mit nichtleerem Durchschnitt. Dann ist direkt
und somit gilt Gleichheit.
c) Es sei
gegeben. Bei
nimmt man die leere Vereinigung. Es sei also
.
Bei
ist sogar
,
und

ist die Vereinigung dieser

.