Mengentheorie/Inklusion in Vereinigung/Äquivalenz/Aufgabe/Lösung

Von (1) nach (2). Es gelte also ${}A\subseteq B\cup C$ und es ist ${}A\setminus B\subseteq C$ zu zeigen. Es sei also ${}x\in A\setminus B$. Das bedeutet ${}x\in A$ und ${}x\notin B$. Nach Voraussetzung (1) gilt wegen ${}x\in A$ auch ${}x\in B\cup C$ und wegen ${}x\notin B$ gilt ${}x\in C$.

Von (2) nach (1). Es gelte also ${}A\setminus B\subseteq C$ und es ist ${}A\subseteq B\cup C$ zu zeigen. Es sei also ${}x\in A$. Wir machen eine Fallunterscheidung. Bei ${}x\in B$ ist auch ${}x\in B\cup C$. Bei ${}x\notin B$ gilt wegen ${}x\in A$ zunächst ${}x\in A\setminus B$ und daher wegen der Voraussetzung ${}A\setminus B\subseteq C$ auch ${}x\in C$, also wieder ${}x\in B\cup C$.

Die Äquivalenz von (1) und (3) ergibt sich genauso mit vertauschten Rollen von

${}B$ und ${}C$.

Zur gelösten Aufgabe