Mengentheorie/Inklusion in Vereinigung/Äquivalenz/Aufgabe/Lösung

Von (1) nach (2). Es gelte also  ${}A\subseteq B\cup C$  und es ist  ${}A\setminus B\subseteq C$  zu zeigen. Es sei also  ${}x\in A\setminus B$.  Das bedeutet  ${}x\in A$  und  ${}x\notin B$.  Nach Voraussetzung (1) gilt wegen  ${}x\in A$  auch  ${}x\in B\cup C$  und wegen  ${}x\notin B$  gilt  ${}x\in C$. 

Von (2) nach (1). Es gelte also  ${}A\setminus B\subseteq C$  und es ist  ${}A\subseteq B\cup C$  zu zeigen. Es sei also  ${}x\in A$.  Wir machen eine Fallunterscheidung. Bei  ${}x\in B$  ist auch  ${}x\in B\cup C$.  Bei  ${}x\notin B$  gilt wegen  ${}x\in A$  zunächst  ${}x\in A\setminus B$  und daher wegen der Voraussetzung  ${}A\setminus B\subseteq C$  auch  ${}x\in C$,  also wieder  ${}x\in B\cup C$. 

Die Äquivalenz von (1) und (3) ergibt sich genauso mit vertauschten Rollen von

${}B$ und ${}C$.

Zur gelösten Aufgabe