Meromorphe Funktion/Hauptteile/1 durch Sinus/Aufgabe/Lösung

Die Nullstellen des Sinus sind  $z=n\pi$  mit  $n\in \mathbb{Z}$.  Außerhalb davon sind alle Hauptteile gleich $0$. Wegen der $2\pi$-Periodizität stimmen die Potenzreihenentwicklungen für den Sinus in $n\pi$ für $n$ gerade untereinander und die Potenzreihenentwicklungen für den Sinus in $n\pi$ für $n$ ungerade untereinander überein (abgesehen davon, dass sie sich auf verschobene Variablen beziehen). Wir müssen also im Wesentlichen die Hauptteile für  $z=0$  und  $z=\pi$  bestimmen.

Die Entwicklung in $0$ beginnt

$z-\frac{1}{6}{z}^3+\cdots +=z((1-\frac{1}{6}{z}^2+\cdots +).$

Der hintere Faktor ist eine Einheit, und die Potenzreihenentwicklung der inversen Reihe beginnt mit $1$. Daher ist die Polordnung gleich $1$ und der Hauptteil ist $\frac{1}{z}$. Für  $z=n\pi$  mit $n$ gerade ist der Hauptteil gleich $\frac{1}{z-n\pi }$.

Die Entwicklung in $\pi$ beginnt (wegen der Ableitung)

$-z+\cdots +=z((-1+\cdots +).$

Der hintere Faktor ist eine Einheit, und die Potenzreihenentwicklung der inversen Reihe beginnt mit $-1$. Daher ist die Polordnung gleich $1$ und der Hauptteil ist $-\frac{1}{z-\pi }$. Für  $z=n\pi$ 

mit $n$ ungerade ist der Hauptteil gleich $-\frac{1}{z-n\pi }$.

Zur gelösten Aufgabe