Meromorphe Funktion/Hauptteile/1 durch Sinus/Aufgabe/Lösung

Die Nullstellen des Sinus sind ${}z=n\pi$ mit ${}n\in \mathbb {Z}$. Außerhalb davon sind alle Hauptteile gleich ${}0$. Wegen der ${}2\pi$-Periodizität stimmen die Potenzreihenentwicklungen für den Sinus in ${}n\pi$ für ${}n$ gerade untereinander und die Potenzreihenentwicklungen für den Sinus in ${}n\pi$ für ${}n$ ungerade untereinander überein (abgesehen davon, dass sie sich auf verschobene Variablen beziehen). Wir müssen also im Wesentlichen die Hauptteile für ${}z=0$ und ${}z=\pi$ bestimmen.

Die Entwicklung in ${}0$ beginnt

${}z-{\frac {1}{6}}z^{3}+\cdots +=z{\left((1-{\frac {1}{6}}z^{2}+\cdots +\right)}\,.$

Der hintere Faktor ist eine Einheit, und die Potenzreihenentwicklung der inversen Reihe beginnt mit ${}1$. Daher ist die Polordnung gleich ${}1$ und der Hauptteil ist ${}{\frac {1}{z}}$. Für ${}z=n\pi$ mit ${}n$ gerade ist der Hauptteil gleich ${}{\frac {1}{z-n\pi }}$.

Die Entwicklung in ${}\pi$ beginnt (wegen der Ableitung)

${}-z+\cdots +=z{\left((-1+\cdots +\right)}\,.$

Der hintere Faktor ist eine Einheit, und die Potenzreihenentwicklung der inversen Reihe beginnt mit ${}-1$. Daher ist die Polordnung gleich ${}1$ und der Hauptteil ist ${}-{\frac {1}{z-\pi }}$. Für ${}z=n\pi$

mit ${}n$ ungerade ist der Hauptteil gleich ${}-{\frac {1}{z-n\pi }}$.

Zur gelösten Aufgabe