Meromorphe Funktion

Einleitung

Eine meromorphe Funktion auf einer offenen Teilmenge $U$ von $\mathbb {C}$ ist in der Funktionentheorie eine Funktion, die holomorph bis auf Pole ist. Diese Pole dürfen nur isoliert auftreten.

Körper der meromorphen Funktionen

Die Menge aller meromorphen Funktionen auf einem Teilgebiet $U$ der komplexen Ebene hat gegenüber der Menge der holomorphen Funktionen den Vorteil, dass sie nicht nur einen Ring, sondern einen Körper bildet, man kann sogar zeigen, dass sie der Quotientenkörper des Rings der holomorphen Funktionen ist.

Definition - meromorph Funktion

Sei $U\subseteq \mathbb {C}$ offen. Eine meromorphe Funktion $f$ auf $U$ ist eine Funktion mit einer diskrete Singularitätenmenge $S\subseteq U$ mit

$f\colon U\setminus S\to \mathbb {C}$ ist holomorph
$f$ hat an jeder Stelle $s\in S$ einen Pol

Man bezeichnet dann $f$ als meromorph auf $U$ und schreibt $f\in {\mathcal {M}}(U)$ .

Bemerkung - Definitionsbereich

Man beachte, dass eine meromorphe Funktion auf $U$ keine auf ganz $U$ definierte Funktion ist, sondern nur auf dem Komplement einer diskreten Teilmenge.

Bemerkung - Auschließen wesentlicher Singularität

Nach dem Satz von Casorati-Weierstraß liegt das einer punktierten Umgebung um eine wesentliche Singularität dicht in $\mathbb {C}$ . Bezogen auf die Riemannsche Zahlenkugel der Einpunktkompaktifizierung von $\mathbb {C}$ ist diese Eigenschaft ungeeignet für Operationen.

Bemerkung

Bei der Definition von Singularitäten wurden die drei Typen von Singulariäten

hebbare Singularität,
Pol (der Ordnung $m$ )
wesentliche Singularität

genannt. Meromorphe Funktionen dürfen dabei in der Singularitätmengen $S$ nur Pole oder hebbare Singularitäten besitzen, aber keine wesentliche Singularitäten besitzen.

Eigenschaften

Folgende Eigenschaften meromorpher Funktionen werden behandelt:

Summen Differenz und Produkt von meromorphen Funktionen,
Zusammenhängendes $U$ und Körpereigenschaften,
meromorphe Funktionen als Quotient zweier holomorpher Funktionen

Summen Differenz und Produkt

Die Summe, die Differenz und das Produkt zweier Funktionen $f,g\in {\mathcal {M}}(U)$ sind wieder meromorph, also ist ${\mathcal {M}}(U)$ eine Algebra über dem Ring der holomorphen Funktionen auf $U$ .
Denn sei $S$ die Polstellenmenge von $f$ und $T$ die Polstellenmenge von $g$ . Dann ist $S\cup T$ eine diskrete Teilmenge von $U$ und $f+g,f-g,fg$ sind auf $U\setminus (S\cup T)$ holomorph und haben auf $S\cup T$ hebbare Singularitäten oder Pole.

Zusammenhang und Körpereigenschaft

Ist $U$ zusammenhängend, $f,g\in {\mathcal {M}}(U)$ und $g\neq 0$ , so ist $f/g$ meromorph auf $U$ . In diesem Fall ist ${\mathcal {M}}(U)$ also ein Körper.
Denn sei $S_{f}$ die Polstellenmenge von $f$ , $S_{g}$ die Polstellenmenge von $g$ . Es ist $U\setminus S_{g}$ ein Gebiet, also ist die Nullstellenmenge $N_{g}$ von $g$ nach dem Identitätssatz eine diskrete Teilmenge von $U$ . Nun ist $f/g\colon U\setminus (S_{f}\cup S_{g}\cup N_{g})\to \mathbb {C}$ holomorph und auf $S_{f}\cup S_{g}\cup N_{g}$ hat $f/g$ hebbare Singularitäten oder Pole.

Meromorphe Funktion als Quotient holomorpher Funktionen

Lokal ist jede meromorphe Funktion Quotient zweier holomorpher Funktionen, d. h. ist $f\in {\mathcal {M}}(U)$ , $z_{0}\in U$ , so gibt es eine Umgebung $V$ von $z_{0}$ und holomorphe Funktionen $p,q\colon V\to \mathbb {C}$ , so dass $f=p/q$ gilt. Es ist ein tiefliegendes Ergebnis, dass für Gebiete $U$ eine solche Darstellung sogar stets global möglich ist, d. h. in diesem Fall ist der Körper der meromorphen Funktionen der Quotientenkörper des Rings der holomorphen Funktionen auf $U$ .

Äquivalente Beschreibung - holomorphe Funktionen auf Riemannscher Zahlenkugel

Eine weitere Möglichkeit, meromorphe Funktionen auf einer offenen Menge $U\subseteq \mathbb {C}$ zu beschreiben, ist sie als holomorphe Funktionen mit Werten in der Riemannschen Zahlenkugel zu definieren. Durch Erweiterung der Menge $\mathbb {C}$ um den Punkt $\infty$ erhält man durch die Menge ${\widehat {\mathbb {C} }}:=\mathbb {C} \cup \{\infty \}$ .

Einpunktkompaktifizierung - Riemannsche Zahlenkugel

Durch die Hinzunahme eines Punktes $\infty$ zu $\mathbb {C}$ erhält man eine kompakte Menge ${\widehat {\mathbb {C} }}=\mathbb {C} \cup \{\infty \}$ . Dabei verändert sich die topologische Struktur von der Gaußschen Zahlenebene in eine Kugelgeometrie (siehe Riemannsche Zahlenkugel).

Umgebungen des Punktes "unendlich"

Definition - Holomorphie im Punkt Unendlich

Sei $U\subseteq \mathbb {C}$ eine offene Menge und $f\colon U\to {\widehat {\mathbb {C} }}$ eine Funktion. $f$ heißt holomorph an einer Stelle $z_{0}\in U$ mit $f(z_{0})\neq \infty$ , wenn es eine Umgebung $V$ von $z_{0}$ gibt, so dass $f(V)\subseteq \mathbb {C}$ und $f|_{V}\colon V\to \mathbb {C}$ in $z_{0}$ holomorph ist. $f$ heißt holomorph an einer Stelle $z_{0}$ mit $f(z_{0})=\infty$ , wenn ${\frac {1}{f}}$ an der Stelle $z_{0}$ holomorph in der bisherigen Definition von Holomorphie auf $\mathbb {C}$ ist.

Pole und Unendlichkeitsstellen

Sei $f\colon U\to {\widehat {\mathbb {C} }}$ holomorph und $f(z_{0})=\infty$ . Ist $f$ auf keiner Umgebung von $z_{0}$ konstant $\infty$ , da meromorphe Funktionen isolierte Singularitäten besitzen. Also gibt es nach dem Identitätssatz eine Umgebung $V$ von $z_{0}$ , so dass $f|_{V\setminus \{z_{0}\}}\colon V\setminus \{z_{0}\}\to \mathbb {C}$ , in der $z_{0}$ die einzige Singularität ist.

Anwendung der Definition der Holomorphie im Punkt Unendlich

Da $f$ in $z_{0}$ holomorph ist, gibt es nach Definition der Holomorphie im Punkt $\infty$ ${\frac {1}{f}}$ in $z_{0}$ holomorph, besitzt also auf $V$ eine Potenzreihenentwicklung, etwa

{\frac {1}{f(z)}}=\sum _{k=0}^{\infty }a_{k}(z-z_{0})^{k}

Bestimmung des kleinsten von 0 verschiedenen Koeffizienten

Sei $m:=\min\{k:a_{k}\neq 0\}$ , dann ist

{\frac {1}{f(z)}}=(z-z_{0})^{m}s\underbrace {\sum _{k=0}^{\infty }a_{k+m}(z-z_{0})^{k}} _{g(z):=}

Durch das Ausklammern von $(z-z_{0})^{m}$ ist dann immer noch $g$ holomorph mit $g(z_{0})\neq 0$ und damit ${\frac {1}{g(z_{0})}}\neq \infty$ . Damit ist dann $1/g$ auch in $z_{0}$ holomorph.

Darstellung der Funktion f

Mit dem Ausklammern des Terms $(z-z_{0})^{m}$ folgt

f(z)\cdot (z-z_{0})^{m}={\frac {1}{g(z)}},\qquad z\in V\setminus \{z_{0}\}

also hat $f$ in $z_{0}$ einen Pol der Ordnung $m$ .

Charakterisierung meromorpher Funktionen

Da Pole gerade als Unendlichekeitsstellen beschrieben werden können, erhalten wir: Eine meromorphe Funktion $f$ auf $U\subseteq \mathbb {C}$ ist eine holomorphe Funktion $f\colon U\to {\widehat {\mathbb {C} }}$ , deren Unendlichkeitsstellen keine Häufungspunkte besitzt. Dies ist äquivalent dazu, dass $f$ auf keiner Komponente von $U$ konstant gleich $\infty$ ist.

Aufgabe - Abbildungen auf der Riemannschen Zahlenkugel

Betrachten Sie die folgenden Funktionen auf der Riemannschen Zahlenkugel:

{\begin{array}{rrcl}f:&{\widehat {\mathbb {C} }}&\rightarrow &{\widehat {\mathbb {C} }}\\&z&\mapsto &f(z)={\frac {a\cdot z+b}{c\cdot z+d}}\end{array}}

Berechnen Sie den Funktionswert $f(\infty )$ .
Für welche $z\in {\widehat {\mathbb {C} }}$ gilt $f(z)=\infty$
Der Koeffizient $c\not =0$ . Ist die obigen Abbildung $f$ dann bijektiv auf ${\widehat {\mathbb {C} }}$ ? Weisen Sie die Injektivität und Sujektivität jeweils nach.
Beschreiben Sie die geometrischen Eigenschaften der Funktion $g$ auf der Riemannschen Zahlenkugel über die Kongruenzabbildungen. Nennen Sie Fixpunkte der Abbildung $g$ .

{\begin{array}{rrcl}g:&{\widehat {\mathbb {C} }}&\rightarrow &{\widehat {\mathbb {C} }}\\&z&\mapsto &g(z)={\begin{cases}{\overline {z}}&,&z\in \mathbb {C} \\\infty &,&z=\infty \\\end{cases}}\end{array}}

Betrachten Sie die Abbildung $h(z):={\frac {1}{z}}$ auf der Riemannschen Zahlenkugel. Verwenden Sie dazu die Begriffe obere und untere Hemisphäre. Identifizieren Sie den "Äquator" der Riemannschen Zahlenkugel mit der Gaußschen Zahlenebene.

Siehe auch

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