Mersenne Zahlen zu Germain Primzahlen/q als Primteiler/Charakterisierung/Fakt/Beweis

Beweis

Es ist  ${}q=2p+1$  ein Teiler von  ${}M_{p}=2^{p}-1$  genau dann, wenn  ${}2^{p}=1$  in ${}\mathbb {Z} /(q)$ ist. Wegen

${}p={\frac {q-1}{2}}\,$

ist dies nach dem Euler-Kriterium genau dann der Fall, wenn ${}2$ ein Quadratrest modulo ${}q$ ist. Dies ist nach dem zweiten Ergänzungssatz genau bei  ${}q=\pm 1\mod 8$  der Fall.

Zur bewiesenen Aussage