Mersenne Zahlen zu Germain Primzahlen/q als Primteiler/Einige Beispiele/Bemerkung

Ist ${}p$ eine Sophie-Germain Primzahl, die modulo ${}4$ den Rest ${}3$ hat, so ist ${}q=2p+1=-1\mod 8$ und nach Fakt ist ${}q$ ein Teiler von ${}M_{p}$. Bei ${}p>3$ ist dies ein echter Teiler und ${}M_{p}$ ist nicht prim.

Für ${}p=3$ ist ${}M_{3}=2^{3}-1=7=2p+1$. Für ${}p=11$ ist ${}q=23$ prim und es ist ${}23{|}M_{11}=2047$. Für ${}p=23$ ist ${}q=47$ wieder prim und es folgt, dass ${}M_{23}$ ein Vielfaches von ${}47$ ist.