Mersenne Zahlen zu Germain Primzahlen/q als Primteiler/Einige Beispiele/Bemerkung

Ist $p$ eine Sophie-Germain-Primzahl, die modulo $4$ den Rest $3$ hat, so ist  $q=2p+1=-1mod8$  und nach Fakt ist $q$ ein Teiler von $M_p$. Bei  $p>3$  ist dies ein echter Teiler und $M_p$ ist nicht prim.

Für  $p=3$  ist  $M_3=2^3-1=7=2p+1$.  Für  $p=11$  ist  $q=23$  prim und es ist $23\mid M_{11}=2047$. Für  $p=23$  ist  $q=47$  wieder prim und es folgt, dass $M_{23}$ ein Vielfaches von $47$ ist.