Messbare Funktionen/Abzählbare Indexmenge/Supremum und Infimum/Fakt

Es sei ${}I$ eine abzählbare Indexmenge und ${}(M,{\mathcal {A}})$ ein Messraum. Es sei

$f_{i}\colon M\longrightarrow {\overline {\mathbb {R} }}$

($i\in I$) eine Familie von messbaren numerischen Funktionen.

Dann sind auch die Funktionen ${}{\operatorname {sup} \,{\left(f_{i},i\in I\right)}}$ und ${}\inf {\left(f_{i},\,i\in I\right)}$ messbar.

Zum Beweis, Alternativen Beweis erstellen