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Messbare Funktionen/Abzählbare Indexmenge/Supremum und Infimum/Fakt/Beweis

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Beweis

Für jedes ist

Zum Beweis dieser Gleichung sei links enthalten und vorgegeben. Wegen kann nicht

für alle gelten, da sonst das Supremum echt kleiner als wäre. Es gibt also ein mit , und gehört auch rechts dazu. Wenn umgekehrt zur rechten Menge dazugehört, so gibt es für jedes ein mit . Daher ist für alle und somit .

Die Menge rechts ist als abzählbarer Durchschnitt von abzählbaren Vereinigungen von nach Voraussetzung messbaren Mengen wieder messbar. Nach Fakt folgt daraus die Messbarkeit der Supremumsabbildung. Die Messbarkeit der Infimumsabbildung beweist man ähnlich oder führt sie durch Betrachten der negativen Funktionen auf die Messbarkeit der Supremumsabbildung zurück.