Messbare Funktionen/Abzählbare Indexmenge/Supremum und Infimum/Fakt/Beweis

Beweis

Für jedes ${}a\in \mathbb {R}$ ist

${\left\{x\in M\mid {\operatorname {sup} \,(f_{i},i\in I)}(x)\geq a\right\}}=\bigcap _{k\in \mathbb {N} _{+}}{\left(\bigcup _{i\in I}{\left\{x\in M\mid f_{i}(x)\geq a-{\frac {1}{k}}\right\}}\right)}\,.$

Zum Beweis dieser Gleichung sei ${}x$ links enthalten und ${}k\in \mathbb {N} _{+}$ vorgegeben. Wegen ${}{\operatorname {sup} \,(f_{i}(x),i\in I)}\geq a$ kann nicht

${}f_{i}(x)<a-{\frac {1}{k}}\,$

für alle ${}i$ gelten, da sonst das Supremum echt kleiner als ${}a$ wäre. Es gibt also ein ${}i\in I$ mit ${}f_{i}(x)\geq a-{\frac {1}{k}}$, und ${}x$ gehört auch rechts dazu. Wenn umgekehrt ${}x$ zur rechten Menge dazugehört, so gibt es für jedes ${}k\in \mathbb {N} _{+}$ ein ${}i\in I$ mit ${}f_{i}(x)\geq a-{\frac {1}{k}}$. Daher ist ${}{\operatorname {sup} \,(f_{i}(x),i\in I)}\geq a-{\frac {1}{k}}$ für alle ${}k$ und somit ${}{\operatorname {sup} \,(f_{i}(x),i\in I)}\geq a$.

Die Menge rechts ist als abzählbarer Durchschnitt von abzählbaren Vereinigungen von nach Voraussetzung messbaren Mengen wieder messbar. Nach Fakt folgt daraus die Messbarkeit der Supremumsabbildung. Die Messbarkeit der Infimumsabbildung beweist man ähnlich oder führt sie durch Betrachten der negativen Funktionen auf die Messbarkeit der Supremumsabbildung zurück.

Zur bewiesenen Aussage