Metrik/Metrischer Raum/Definition

Metrischer Raum

Es sei ${}M$ eine Menge. Eine Abbildung ${}d\colon M\times M\rightarrow \mathbb {R}$ heißt Metrik (oder Distanzfunktion), wenn für alle  ${}x,y,z\in M$  die folgenden Bedingungen erfüllt sind:

1.  ${}d{\left(x,y\right)}=0$  genau dann, wenn  ${}x=y$  ist (Definitheit),
2.  ${}d{\left(x,y\right)}=d{\left(y,x\right)}$  (Symmetrie), und
3.  ${}d{\left(x,y\right)}\leq d{\left(x,z\right)}+d{\left(z,y\right)}$  (Dreiecksungleichung).

Ein metrischer Raum ist ein Paar ${}(M,d)$, wobei ${}M$ eine Menge und ${}d\colon M\times M\rightarrow \mathbb {R}$ eine Metrik ist.