Metrik/Metrischer Raum/Definition

Metrischer Raum

Es sei ${}M$ eine Menge. Eine Abbildung ${}d\colon M\times M\rightarrow \mathbb {R}$ heißt Metrik (oder Distanzfunktion), wenn für alle ${}x,y,z\in M$ die folgenden Bedingungen erfüllt sind:

1. ${}d{\left(x,y\right)}=0$ genau dann, wenn ${}x=y$ ist (Definitheit),
2. ${}d{\left(x,y\right)}=d{\left(y,x\right)}$ (Symmetrie), und
3. ${}d{\left(x,y\right)}\leq d{\left(x,z\right)}+d{\left(z,y\right)}$ (Dreiecksungleichung).

Ein metrischer Raum ist ein Paar ${}(M,d)$, wobei ${}M$ eine Menge und ${}d\colon M\times M\rightarrow \mathbb {R}$ eine Metrik ist.