Metrische Räume/Abbildung/Grenzwert/Charakterisierungen/Fakt/Beweis

Beweis

${}(1)\Rightarrow (2)$. Da ${}V$ offen ist gibt es ein  ${}\epsilon >0$  mit  ${}U{\left(b,\epsilon \right)}\subseteq V$.  Aufgrund von (1) gibt es ein  ${}\delta >0$  mit

${}f(T\cap U{\left(a,\delta \right)})\subseteq U{\left(b,\epsilon \right)}\,$

und wir können  ${}U=T\cap U{\left(a,\delta \right)}$  nehmen.
${}(2)\Rightarrow (3)$. Es sei eine gegen ${}a$ konvergente Folge  ${}{\left(x_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }\in T$  und ein  ${}\epsilon >0$  gegeben. Für die offene Menge  ${}V=U{\left(b,\epsilon \right)}$  gibt es nach (2) eine offene Menge  ${}U\subseteq M$  mit  ${}a\in U$  und  ${}f(U\cap T)\subseteq V$.  Wegen der Offenheit von ${}U$ gibt es auch ein  ${}\delta >0$  mit  ${}U{\left(a,\delta \right)}\cap T\subseteq U\cap T$.  Da die Folge ${}{\left(x_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ gegen ${}a$ konvergiert, gibt es ein  ${}N\in \mathbb {N}$  mit  ${}x_{n}\in U{\left(a,\delta \right)}$  für alle  ${}n\geq N$.  Für diese ${}n$ ist dann  ${}f(x_{n})\in U{\left(b,\epsilon \right)}$,  d.h. die Bildfolge konvergiert gegen ${}b$.
${}(3)\Rightarrow (1)$.  Nehmen wir an, dass ${}b$ nicht der Grenzwert ist. Dann gibt es ein  ${}\epsilon >0$  derart, dass es für alle  ${}\delta >0$  ein  ${}x\in T$  gibt mit  ${}x\in U{\left(a,\delta \right)}$  und mit  ${}f(x)\notin U{\left(b,\epsilon \right)}$.  Wir wenden diese Eigenschaft auf die Stammbrüche ${}\delta =1/n$ , ${}n\in \mathbb {N}$, an und erhalten eine Folge

$x_{n}\in U{\left(a,1/n\right)}{\text{ und }}f(x_{n})\not \in U{\left(b,\epsilon \right)}.$

Die Folge ${}{\left(x_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ konvergiert dann gegen ${}a$, die Bildfolge ${}{\left(f(x_{n})\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ aber nicht gegen ${}b$,  im Widerspruch zu (3).

Zur bewiesenen Aussage