Metrische Räume/Abbildung/Grenzwert/Charakterisierungen/Fakt/Beweis

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Beweis

. Da offen ist gibt es ein mit . Aufgrund von (1) gibt es ein mit und wir können nehmen.
. Sei eine gegen konvergente Folge und ein gegeben. Für die offene Menge gibt es nach (2) eine offene Menge mit und . Wegen der Offenheit von gibt es auch ein mit . Da die Folge konvergiert, gibt es ein mit für alle . Für diese ist dann , d.h. die Bildfolge konvergiert.
.  Nehmen wir an, dass nicht der Grenzwert ist. Dann gibt es ein derart, dass es für alle ein gibt mit und mit . Wir wenden diese Eigenschaft auf die Stammbrüche  , , an und erhalten eine Folge

Die Folge konvergiert dann gegen , die Bildfolge aber nicht gegen ,  im Widerspruch zu (3).
Zur bewiesenen Aussage