Metrische Räume/Abbildung/Grenzwert/Charakterisierungen/Fakt

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Sei ein metrischer Raum, sei eine Teilmenge und sei ein Berührpunkt von . Es sei

eine Abbildung in einen weiteren metrischen Raum und sei . Dann sind folgende Aussagen äquivalent.

  1. Die Abbildung besitzt in den Grenzwert .
  2. Zu jeder offenen Menge mit gibt es eine offene Menge mit und mit .
  3. Für jede Folge in , die gegen konvergiert, konvergiert die Bildfolge gegen .
Zum Beweis, Alternativen Beweis erstellen