Metrische Räume/Hintereinanderschaltung/Stetigkeit im Punkt/Aufgabe/Kommentar

Wie in der Vorlesung erwähnt, ist dies am leichtesten, in dem man die Stetigkeit mit Hilfe offener Mengen zeigt. Es geht auch mit dem ${}\epsilon$-${}\delta$-Kriterien. Da wir mehrere stetige Funktionen haben, geben wir den ${}\epsilon$ und ${}\delta$ Indizes, damit wir diese nicht verwechseln. Die Stetigkeit von ${}g$ in ${}f(x)$ liefert, dass für alle ${}\epsilon _{1}>0$ ein ${}\delta _{1}>0$ existiert, sodass

${}g{\left(B\left(f(x),\delta _{1}\right)\right)}\subseteq B\left(g(f(x)),\epsilon _{1}\right)\,.$

Die Stetigkeit von ${}f$ in ${}x$ liefert, dass für alle ${}\epsilon _{2}>0$ ein ${}\delta _{2}>0$ existiert, sodass

${}f{\left(B\left(x,\delta _{2}\right)\right)}\subseteq B\left(f(x),\epsilon _{2}\right)\,.$

Um die Stetigkeit von ${}g\circ f$ in ${}x$ zu zeigen, sei nun ${}\epsilon >0$ und wir müssen zeigen, dass am Ende ein ${}\delta >0$ existiert, sodass

${}g(f{\left(B\left(x,\delta \right)\right)})\subseteq B\left(g(f(x)),\epsilon \right)\,$

ist.

Als erstes nutzt man nun die Steteigkeit von ${}g$, wobei dort jetzt ${}\epsilon$ die Rolle von ${}\epsilon _{1}$ übernimmt. Damit folgt, dass

${}g{\left(B\left(f(x),\delta _{1}\right)\right)}\subseteq B\left(g(f(x)),\epsilon \right)\,$

ist, für ein passendes ${}\delta _{1}$. Als nächstes kann man die Stetigkeit von ${}f$ nutzen. Hierbei nimmt aber das eben erhaltene ${}\delta _{1}$ die Rolle von ${}\epsilon _{2}$ ein. Wir erhalten

${}f{\left(B\left(x,\delta _{2}\right)\right)}\subseteq B\left(f(x),\delta _{1}\right)\,$

für ein gewisses ${}\delta _{2}$. Wendet man hierauf die Funktion ${}g$ an, bleibt die Teilmengenbeziehung erhalten und mit dem Vorherigen kombiniert, erhalten wir insgesamt

${}g(f{\left(B\left(x,\delta _{2}\right)\right)})\subseteq g{\left(B\left(f(x),\delta _{1}\right)\right)}\subseteq B\left(g(f(x)),\epsilon \right)\,.$

Das heißt, mit ${}\delta _{2}$ haben wir die Existenz eines geeigneten ${}\delta$ für die Stetigkeit von ${}g\circ f$ gezeigt.

Zur kommentierten Aufgabe