Die Äquivalenz von (1) und (2) ist klar.
Es sei nun (2) erfüllt und sei eine Folge in , die gegen konvergiert. Wir müssen zeigen, dass
ist. Dazu sei
gegeben. Wegen (2) gibt es ein mit der angegebenen Eigenschaft und wegen der Konvergenz von gegen gibt es eine natürliche Zahl derart, dass für alle
die Abschätzung
-
gilt. Nach der Wahl von ist dann
-
sodass die Bildfolge gegen
konvergiert.
Es sei (3) erfüllt und
vorgegeben. Wir nehmen an, dass es für alle
Elemente
gibt, deren Abstand zu maximal gleich ist, deren Wert unter der Abbildung aber zu einen Abstand größer als besitzt. Dies gilt dann insbesondere für die Stammbrüche
, .
D.h. für jede natürliche Zahl gibt es ein
mit
-
Diese so konstruierte Folge
konvergiert gegen
, aber die Bildfolge konvergiert nicht gegen
, da der Abstand der Bildfolgenwerte zu
zumindest
ist. Dies ist ein Widerspruch zu (3).