Metrische Räume/Stetige Abbildung/Charakterisierung in einem Punkt/Fakt

Folgenkriterium für Stetigkeit

Es sei

$f\colon L\longrightarrow M,\,x\longmapsto f(x),$

eine Abbildung zwischen den metrischen Räumen ${}L$ und ${}M$ und sei  ${}x\in L$  ein Punkt. Dann sind folgende Aussagen äquivalent.

1. ${}f$ ist stetig im Punkt ${}x$.
2. Für jedes  ${}\epsilon >0$  gibt es ein  ${}\delta >0$  mit der Eigenschaft, dass aus  ${}d(x,x')\leq \delta$  folgt, dass

   ${}d(f(x),f(x'))\leq \epsilon \,$

   ist.

3. Für jede konvergente Folge ${}{\left(x_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ in ${}L$ mit  ${}\lim _{n\rightarrow \infty }x_{n}=x$  ist auch die Bildfolge ${}{\left(f(x_{n})\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ konvergent mit dem Grenzwert ${}f(x)$.

Zum Beweis, Alternativen Beweis erstellen