Metrischer Raum/Abschluss/Berührungspunkte/Folge/Aufgabe/Lösung

Es sei zunächst ${}x\in {\overline {T}}$. Das bedeutet, dass zu jedem ${}\epsilon >0$ die Menge

${}T\cap B\left(x,\epsilon \right)\neq \emptyset \,$

ist. Dies gilt insbesondere für die Stammbrüche ${}{\frac {1}{n}}$. Somit gibt es zu ${}n\in \mathbb {N} _{+}$ ein Element ${}x_{n}\in T\cap B\left(x,{\frac {1}{n}}\right)$. Dies ergibt eine Folge in ${}T$. Diese Folge konvergiert gegen ${}x$, da jede gewünschte Genauigkeit durch einen Stammbruch unterboten wird.

Es sei ungekehrt ${}x$ der Grenzwert einer Folge ${}{\left(x_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ mit Folgengliedern ${}x_{n}$ in ${}T$ ist. Sei ${}\epsilon >0$ vorgegeben. Für ${}n$ hinreichend groß ist ${}x_{n}\in B\left(x,\epsilon \right)$. Somit ist

${}T\cap B\left(x,\epsilon \right)\neq \emptyset \,$

und ${}x$ ist ein Berührpunkt von ${}T$, also

${}x\in {\overline {T}}$.

Zur gelösten Aufgabe