Metrischer Raum/Abschluss/Mengentheoretische Eigenschaften/Aufgabe/Lösung

1. Aus ${}A,B\subseteq A\cup B$ folgt direkt

   ${}{\overline {A}},{\overline {B}}\subseteq {\overline {A\cup B}}\,$

   und damit

   ${}{\overline {A}}\cup {\overline {B}}\subseteq {\overline {A\cup B}}\,.$

   Andererseits ist

   ${}A\cup B\subseteq {\overline {A}}\cup {\overline {B}}\,$

   und die rechte Menge ist als Vereinigung von zwei abgeschlossenen Mengen wieder abgeschlossen. Da ${}{\overline {A\cup B}}$ der Durchschnitt von allen abgeschlossenen Mengen, die ${}A\cup B$ umfassen, ist, gilt

   ${}{\overline {A\cup B}}\subseteq {\overline {A}}\cup {\overline {B}}\,.$

2. Diese Eigenschaft stimmt nicht. Es sei ${}M=\mathbb {R}$, ${}A=\mathbb {Q}$ und ${}B=\mathbb {R} \setminus \mathbb {Q}$. Da es in jeder beliebig kleinen Umgebung einer reellen Zahl sowohl rationale als auch irrationale Zahlen gibt, ist

   ${}{\overline {\mathbb {Q} }}=\mathbb {R} ={\overline {\mathbb {R} \setminus \mathbb {Q} }}\,,$

   was sich auf den Durchschnitt überträgt. Dagegen ist

   ${}\mathbb {Q} \cap (\mathbb {R} \setminus \mathbb {Q} )=\emptyset \,$

   und

   ${}{\overline {\emptyset }}=\emptyset \,.$

Zur gelösten Aufgabe