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Metrischer Raum/Kompakt/Vollständig/Fakt/Beweis/Aufgabe/Lösung

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Es sei eine Cauchy-Folge in . Nehmen wir an, dass diese Folge nicht konvergiert. Nach Aufgabe besitzt sie dann auch keinen Häufungspunkt. Das bedeutet, dass es zu jedem Punkt eine offene Umgebung derart gibt, dass es darin nur endlich viele Folgenglieder gibt. Aufgrund der Kompaktheit gibt es zur Überdeckung

eine endliche Teilüberdeckung, also

Dann wären ab einem alle Folgenglieder außerhalb dieser Menge, was absurd ist.