Metrischer Raum/Konvergente Folge/Abstandsfolge/Aufgabe/Kommentar

Im Grunde genommen muss man sich hier nur die beiden Definitionen der Konvergenz im metrischen Raum und der Konvergenz reeller Zahlen erneut ins Gedächtnis rufen. In einem metrischen Raum ${}(M,d)$ konvergiert die Folge ${}{\left(x_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ gegen ${}x\in M$, falls zu jedem ${}\epsilon \in \mathbb {R}$, ${}\epsilon >0$, ein ${}n_{0}\in \mathbb {N}$ derart existiert, dass für alle ${}n\geq n_{0}$ die Beziehung

${}d{\left(x_{n},x\right)}\leq \epsilon \,$

gilt. Nun ist ${}d{\left(\cdot ,\cdot \right)}$ eine Metrik und liefert somit immer eine nichtnegative reele Zahl. Das heißt, die Beziehung

${}d{\left(x_{n},x\right)}\leq \epsilon \,$

können wir äquivalent umschreiben zu

${\vert d{\left(x_{n},x\right)}-0\vert \leq \epsilon }.$

Haben wir nun eine gegen ${}x\in M$ konvergente Folge ${}{\left(x_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ im metrischen Raum ${}(M,d)$, haben wir die dazu äquivalente Aussage, zu jedem ${}\epsilon \in \mathbb {R}$, ${}\epsilon >0$, existiert ein ${}n_{0}\in \mathbb {N}$ derart existiert, dass für alle ${}n\geq n_{0}$ die Beziehung

${\vert d{\left(x_{n},x\right)}-0\vert \leq \epsilon }$

gilt.

Dies ist aber nichts anderes als die Aussage, dass die reelle Zahlenfolge ${}(d(x_{n},x))_{n\in \mathbb {N} }$ gegen Null in ${}\mathbb {R}$ konvergiert.

Zur kommentierten Aufgabe