Metrischer Raum/Konvergente Folge/Offene Umgebungen/Aufgabe/Lösung

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Die Folge konvergiere gegen und sei eine offene Umgebung. Es gibt ein mit

Wegen der Folgenkonvergenz gibt es ein derart, dass für alle die Beziehung und damit gilt.

Umgekehrt gelte die Eigenschaft für jede offene Umgebung von . Dann gilt sie insbesondere für jede offene Ballumgebung und dies bedeutet die Konvergenz der Folge.