Sei y ∈ U ( x , ϵ ) {\displaystyle {}y\in U{\left(x,\epsilon \right)}} , d.h. es ist d ( x , y ) < ϵ {\displaystyle {}d(x,y)<\epsilon } . Wir setzen a = ϵ − d ( x , y ) > 0 {\displaystyle {}a=\epsilon -d(x,y)>0} und behaupten, dass U ( y , a ) ⊆ U ( x , ϵ ) {\displaystyle {}U{\left(y,a\right)}\subseteq U{\left(x,\epsilon \right)}} ist. Dazu sei z ∈ U ( y , a ) {\displaystyle {}z\in U{\left(y,a\right)}} . Dann ist aufgrund der Dreiecksungleichung
und somit z ∈ U ( x , ϵ ) {\displaystyle {}z\in U{\left(x,\epsilon \right)}} . Für die zweite Behauptung siehe Aufgabe.
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d.h. es ist
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Wir setzen
und behaupten, dass
ist. Dazu sei
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Dann ist aufgrund der Dreiecksungleichung
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Für die zweite Behauptung siehe
Aufgabe.
