Metrischer Raum/Stetige Abbildung/Grenzwert/Fortsetzung/Aufgabe/Lösung
Erscheinungsbild
Wir setzen zunächst voraus, dass der Grenzwert existiert. In diesem Fall definieren wir die Fortsetzung durch
und müssen zeigen, dass dies stetig ist. Für ist die Abbildung nach wie vor stetig, da sich die Abbildung in einer offenen Umgebung von nicht ändert. Im Punkt stimmt die Definition der Grenzwerteigenschaft mit der -Definition der Stetigkeit überein mit dem einzigen Unterschied, dass diese sich auch auf den Punkt bezieht, in diesem Punkt ist aber die Abstandsbedingung trivialerweise erfüllt.
Wenn eine stetige Fortsetzung ist, so ist