Metrischer Raum/Stetigkeit/Motivation/Bemerkung

Ein metrischer Raum ist dadurch ausgezeichnet, dass es in ihm eine Abstandsfunktion gibt, und dass dadurch zwei Punkte „näher“ zueinander liegen können als zwei andere Punkte. Bei einer Abbildung

$f\colon L\longrightarrow M$

zwischen zwei metrischen Räumen kann man sich fragen, inwiefern der Abstand im Werteraum ${}M$ durch den Abstand im Definitionsraum ${}L$ kontrollierbar ist. Sei ${}x\in L$ und ${}y=f(x)$ der Bildpunkt. Man möchte, dass für Punkte ${}x'$, die „nahe“ an ${}x$ sind, auch die Bildpunkte ${}f(x')$ „nahe“ an ${}f(x)$ sind. Um diese intuitive Vorstellung zu präzisieren, sei ein ${}\epsilon >0$ vorgegeben. Dieses ${}\epsilon$ repräsentiert eine „gewünschte Zielgenauigkeit“ (oder „Zieltoleranz“). Die Frage ist dann, ob man ein ${}\delta >0$ finden kann (eine „Startgenauigkeit“ oder „Starttoleranz“) mit der Eigenschaft, dass für alle ${}x'$ mit ${}d{\left(x,x'\right)}\leq \delta$ die Beziehung ${}d{\left(f(x),f(x')\right)}\leq \epsilon$ gilt. Dies führt zum Begriff der stetigen Abbildung.