Metrischer Raum/Teilmenge/Dicht/Charakterisierung/Aufgabe

Es sei ${}T\subseteq M$ eine Teilmenge in einem metrischen Raum ${}M$. Zeige, dass die folgenden Eigenschaften äquivalent sind.

1. ${}T$ ist dicht.
2. Es ist ${}{\overline {T}}=M$.
3. Für jeden Punkt ${}x\in M$ gibt es eine Folge ${}{\left(x_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }\in T$, die gegen ${}x$ konvergiert.
4. Für jede nichtleere offene Menge ${}U\subseteq M$ ist ${}T\cap U\neq \emptyset$.

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