Metrischer Raum/Teilmenge/Induzierte Metrik/Induzierte Topologie/Aufgabe/Lösung

Es sei zunächst ${}Z$ offen in ${}T$. Dann gibt es zu jedem Punkt ${}P\in Z$ eine offene Ballumgebung mit

${}P\in U{\left(P,\epsilon _{P}\right)}\cap T\subseteq Z\,$

(der Radius hängt von ${}P$ ab). Es ist

${}U:=\bigcup _{P\in Z}U{\left(P,\epsilon _{P}\right)}\,$

als Vereinigung offener Mengen offen in ${}M$ und ${}Z=U\cap T$.

Wenn es umgekehrt eine offene Menge ${}U\subseteq M$ mit ${}Z=U\cap T$ gibt, so sei ${}P\in Z$ ein Punkt. Es gibt in ${}M$ eine offene Ballumgebung mit

${}P\in U{\left(P,\epsilon \right)}\subseteq U\,.$

Dann ist auch

${}P\in U{\left(P,\epsilon \right)}\cap T\subseteq U\cap T=Z\,$

und es ist eine offene Ballumgebung in ${}termT$ gefunden.

Zur gelösten Aufgabe