Metrischer Raum/Teilmenge/Induzierte Metrik/Induzierte Topologie/Aufgabe/Lösung

Es sei zunächst $Z$ offen in $T$. Dann gibt es zu jedem Punkt  $P\in Z$  eine offene Ballumgebung mit

$P\in U(P,{ϵ}_P)\cap T\subseteq Z$

(der Radius hängt von $P$ ab). Es ist

$U:=\bigcup _{P\in Z}U(P,{ϵ}_P)$

als Vereinigung offener Mengen offen in $M$ und  $Z=U\cap T$. 

Wenn es umgekehrt eine offene Menge  $U\subseteq M$  mit  $Z=U\cap T$  gibt, so sei  $P\in Z$  ein Punkt. Es gibt in $M$ eine offene Ballumgebung mit

$P\in U(P,ϵ)\subseteq U.$

Dann ist auch

$P\in U(P,ϵ)\cap T\subseteq U\cap T=Z$

und es ist eine offene Ballumgebung in $T$ gefunden.

Zur gelösten Aufgabe