Metrischer Raum/Teilmenge/Induzierte Metrik/Induzierte Topologie/Aufgabe/Lösung

Es sei zunächst ${}Z$ offen in ${}T$. Dann gibt es zu jedem Punkt  ${}P\in Z$  eine offene Ballumgebung mit

${}P\in U{\left(P,\epsilon _{P}\right)}\cap T\subseteq Z\,$

(der Radius hängt von ${}P$ ab). Es ist

${}U:=\bigcup _{P\in Z}U{\left(P,\epsilon _{P}\right)}\,$

als Vereinigung offener Mengen offen in ${}M$ und  ${}Z=U\cap T$. 

Wenn es umgekehrt eine offene Menge  ${}U\subseteq M$  mit  ${}Z=U\cap T$  gibt, so sei  ${}P\in Z$  ein Punkt. Es gibt in ${}M$ eine offene Ballumgebung mit

${}P\in U{\left(P,\epsilon \right)}\subseteq U\,.$

Dann ist auch

${}P\in U{\left(P,\epsilon \right)}\cap T\subseteq U\cap T=Z\,$

und es ist eine offene Ballumgebung in ${}termT$ gefunden.

Zur gelösten Aufgabe