Metrischer Raum/Wegzusammenhängend/Zusammenhängend/Fakt/Beweis

Beweis

Nehmen wir an, es gebe eine Zerlegung ${}X=U_{1}\uplus U_{2}$ in zwei nichtleere offene Teilmenge ${}U_{1}$ und ${}U_{2}$. Sei ${}x_{1}\in U_{1}$ und ${}x_{2}\in U_{2}$. Nach Voraussetzung gibt es eine stetige Abbildung

$\gamma \colon [a,b]\longrightarrow X$

mit ${}\gamma (a)=x_{1}$ und ${}\gamma (b)=x_{2}$. Dann ist

${}[a,b]=\gamma ^{-1}(U_{1})\uplus \gamma ^{-1}(U_{2})\,$

eine disjunkte Zerlegung eines Intervalls in zwei nichtleere offene Mengen im Widerspruch zu Fakt.

Zur bewiesenen Aussage