Wir zeigen, dass das Komplement offen ist. Es sei also
ein Punkt mit
-
![{\displaystyle {}f(x)\neq g(x)\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/45d418c84d794290ac33b89581bffbf0a5ff4d3b)
und sei
-
![{\displaystyle {}\delta =d{\left(f(x),g(x)\right)}>0\,.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5f61e55478ed8ae960e35c1b1f5952abbc97052e)
Wegen der
Stetigkeit
von
und
gibt es
mit den Eigenschaften:
Wenn
, dann
und
Wenn
, dann
.
Dies gilt dann auch für
-
![{\displaystyle {}\epsilon ={\min {\left(\epsilon _{1},\epsilon _{2}\right)}}\,.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/41d5534d0f77be8263e0d2b9d0ebaef0ed8a08ea)
Daher gelten für
die Abschätzungen
![{\displaystyle {}{\begin{aligned}d{\left(f(x'),g(x')\right)}&\geq d{\left(f(x),g(x)\right)}-d{\left(f(x),f(x')\right)}-d{\left(g(x),g(x')\right)}\\&\geq \delta -{\frac {2}{3}}\delta \\&={\frac {1}{3}}\delta \\&>0,\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f55db85cdbf98341ebf5c477d0f90ec1d90b116c)
d.h. diese offene Ballumgebung gehört vollständig zum Komplement.