Minimalpolynom/2+5i/Aufgabe/Lösung

Es ist

$(2+5\mathrm{i}{)}^2=4-25+20\mathrm{i}=-21+20\mathrm{i}.$

Dies ist eine $\mathbb{Q}$-Linearkombination von $1$ und $2+5\mathrm{i}$, nämlich

$-21+20\mathrm{i}=-29\cdot 1+4(2+5\mathrm{i}).$

Daher ist

$Z^2-4Z+29$

ein annullierendes Polynom von $2+5\mathrm{i}$. Wegen $2+5\mathrm{i}\in ̸\mathbb{Q}$ kann es kein annullierendes Polynom von einem kleineren Grad geben, also handelt es sich um das Minimalpolynom.

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