Minimalpolynom/Diagonalmatrix/Verschiedene Einträge/Beispiel

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Zu einer Diagonalmatrix

mit verschiedenen Einträgen ist das Minimalpolynom gleich

Dieses Polynom geht unter der Einsetzung auf

Wenden wir darauf den Standardvektor an, so wird er von dem Faktor auf abgebildet. Der -te Faktor sichert also, dass insgesamt annulliert wird. Da somit eine Basis durch auf abgebildet wird, muss es sich insgesamt um die Nullabbildung handeln.

Angenommen, wäre nicht das Minimalpolynom . Dann gibt es nach Fakt ein Polynom mit

und nach Fakt muss ein Teilprodukt der Linearfaktoren von sein. Sobald man aber einen Faktor von weglässt, sagen wir , so wird durch die zugehörige Abbildung nicht mehr annulliert.