Minkowski-Raum/2/Beobachtervektor/Rationale Parametrisierung/Aufgabe/Lösung

Es ist

${}{\begin{aligned}\left\langle {\frac {1}{2}}{\begin{pmatrix}z-{\frac {1}{z}}\\z+{\frac {1}{z}}\end{pmatrix}},{\frac {1}{2}}{\begin{pmatrix}z-{\frac {1}{z}}\\z+{\frac {1}{z}}\end{pmatrix}}\right\rangle &={\frac {1}{4}}{\left({\left(z-{\frac {1}{z}}\right)}^{2}-{\left(z+{\frac {1}{z}}\right)}^{2}\right)}\\&={\frac {1}{4}}{\left(z^{2}-2+{\left({\frac {1}{z}}\right)}^{2}-z^{2}-2-{\left({\frac {1}{z}}\right)}^{2}\right)}\\&=-1\end{aligned}}$

und ebenso

${}{\begin{aligned}\left\langle {\frac {1}{2}}{\begin{pmatrix}-z+{\frac {1}{z}}\\z+{\frac {1}{z}}\end{pmatrix}},{\frac {1}{2}}{\begin{pmatrix}-z+{\frac {1}{z}}\\z+{\frac {1}{z}}\end{pmatrix}}\right\rangle &={\frac {1}{4}}{\left({\left(-z+{\frac {1}{z}}\right)}^{2}-{\left(z+{\frac {1}{z}}\right)}^{2}\right)}\\&={\frac {1}{4}}{\left(z^{2}-2+{\left({\frac {1}{z}}\right)}^{2}-z^{2}-2-{\left({\frac {1}{z}}\right)}^{2}\right)}\\&=-1,\end{aligned}}$

somit sind dies Beobachtervektoren.

Es sei umgekehrt ${}{\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}}$ ein Beobachtervektor, also

${}x^{2}-y^{2}=-1\,.$

Wir müssen zeigen, dass dieser Vektor von einer der angegebenen Gestalt ist und betrachten daher die Gleichung

${}{\frac {1}{2}}{\left(z+{\frac {1}{z}}\right)}=y\,.$

Multiplikation mit ${}z$ führt auf

${}z^{2}-2yz+1=0\,$

bzw. auf

${}(z-y)^{2}+1-y^{2}=0\,$

und auf

${}z=\pm {\sqrt {y^{2}-1}}+y\,,$

wobei die Wurzel stets existiert, und zwar gleich ${}\pm x$ ist. Je nachdem, ob ${}x$ positiv oder negativ ist, muss man ${}z$ entsprechend wählen.

Zur gelösten Aufgabe