Minkowski-Raum/Beobachtervektoren/Faser/Regulär/Aufgabe/Lösung

1. Die Bedingung für einen Beobachtervektor ist

   ${}\left\langle {\begin{pmatrix}x\\y\\z\\w\end{pmatrix}},{\begin{pmatrix}x\\y\\z\\w\end{pmatrix}}\right\rangle =x^{2}+y^{2}+z^{2}-w^{2}=-1\,,$

   deshalb kann man direkt

   ${}f(x,y,z,w)=x^{2}+y^{2}+z^{2}-w^{2}\,$

   und ${}s=-1$ nehmen.

2. Die Jacobi-Matrix zu ${}f$ ist

   $\left(2x,\,2y,\,2z,\,-2w\right).$

   Ein kritischer Punkt liegt genau dann vor, wenn sämtliche Einträge dieses Vektors verschwinden, was nur im Nullpunkt ${}\left(0,\,0,\,0,\,0\right)$ der Fall ist. Dieser ist kein Beobachtervektor.

3. Wegen

   ${}x_{0}^{2}+y_{0}^{2}+z_{0}^{2}-w_{0}^{2}=-1\,$

   ist

   ${}w_{0}^{2}\geq 1\,.$

   Bei ${}w_{0}\geq 1$ ist

   ${}w_{0}={\sqrt {x_{0}^{2}+y_{0}^{2}+z_{0}^{2}+1}}\,$

   und die Abbildung

   $\psi \colon \mathbb {R} ^{3}\longrightarrow Z,\,{\begin{pmatrix}x\\y\\z\end{pmatrix}}\longmapsto {\begin{pmatrix}x\\y\\z\\{\sqrt {x^{2}+y^{2}+z^{2}+1}}\end{pmatrix}},$

   ist stetig, injektiv (wegen der ersten drei Komponenten) und erreicht alle Beobachtervektoren mit positiver vierter Komponente.

   Bei ${}w_{0}\leq -1$ ist

   ${}w_{0}=-{\sqrt {x_{0}^{2}+y_{0}^{2}+z_{0}^{2}+1}}\,$

   und die Abbildung

   $\psi \colon \mathbb {R} ^{3}\longrightarrow Z,\,{\begin{pmatrix}x\\y\\z\end{pmatrix}}\longmapsto {\begin{pmatrix}x\\y\\z\\-{\sqrt {x^{2}+y^{2}+z^{2}+1}}\end{pmatrix}},$

   besitzt die gleichen Eigenschaften.

Zur gelösten Aufgabe