Minkowski-Raum/Beobachtervektoren/Faser/Regulär/Aufgabe/Lösung

Die Bedingung für einen Beobachtervektor ist
$⟨ (\begin{matrix} x \\ y \\ z \\ w \end{matrix}), (\begin{matrix} x \\ y \\ z \\ w \end{matrix}) ⟩ = x^{2} + y^{2} + z^{2} - w^{2} = - 1,$

deshalb kann man direkt

$f (x, y, z, w) = x^{2} + y^{2} + z^{2} - w^{2}$

und $s = - 1$ nehmen.
Die Jacobi-Matrix zu $f$ ist
$(2 x, 2 y, 2 z, - 2 w) .$

Ein kritischer Punkt liegt genau dann vor, wenn sämtliche Einträge dieses Vektors verschwinden, was nur im Nullpunkt $(0, 0, 0, 0)$ der Fall ist. Dieser ist kein Beobachtervektor.
Wegen
$x_{0}^{2} + y_{0}^{2} + z_{0}^{2} - w_{0}^{2} = - 1$

ist

$w_{0}^{2} \geq 1 .$

Bei $w_{0} \geq 1$ ist

$w_{0} = \sqrt{x_{0}^{2} + y_{0}^{2} + z_{0}^{2} + 1}$

und die Abbildung

$ψ : ℝ^{3} ⟶ Z, (\begin{matrix} x \\ y \\ z \end{matrix}) ⟼ (\begin{matrix} x \\ y \\ z \\ \sqrt{x^{2} + y^{2} + z^{2} + 1} \end{matrix}),$

ist stetig, injektiv (wegen der ersten drei Komponenten) und erreicht alle Beobachtervektoren mit positiver vierter Komponente.
Bei $w_{0} \leq - 1$ ist

$w_{0} = - \sqrt{x_{0}^{2} + y_{0}^{2} + z_{0}^{2} + 1}$

und die Abbildung

$ψ : ℝ^{3} ⟶ Z, (\begin{matrix} x \\ y \\ z \end{matrix}) ⟼ (\begin{matrix} x \\ y \\ z \\ - \sqrt{x^{2} + y^{2} + z^{2} + 1} \end{matrix}),$

besitzt die gleichen Eigenschaften.