Minkowski-Raum/Lichtkegel/Faser/Regulär/Aufgabe/Lösung

Die Bedingung für einen lichtartigen Vektor ist
$⟨ (\begin{matrix} x \\ y \\ z \\ w \end{matrix}), (\begin{matrix} x \\ y \\ z \\ w \end{matrix}) ⟩ = x^{2} + y^{2} + z^{2} - w^{2} = 0,$

deshalb kann man direkt

$f (x, y, z, w) = x^{2} + y^{2} + z^{2} - w^{2}$

nehmen.
Die Jacobi-Matrix zu $f$ ist
$(2 x, 2 y, 2 z, - 2 w) .$

Ein kritischer Punkt liegt genau dann vor, wenn sämtliche Einträge dieses Vektors verschwinden, was nur im Nullpunkt $(0, 0, 0, 0)$ der Fall ist.
Es sei
$P = (x, y, z, w) \neq (0, 0, 0, 0)$

ein Element des Lichtkegels. Sei

$v = (v_{1}, v_{2}, v_{3}, v_{4}) \in T_{P} Y = kern (2 x, 2 y, 2 z, - 2 w) .$

Dann ist

$\begin{matrix} ⟨ (\begin{matrix} x \\ y \\ z \\ w \end{matrix}) + (\begin{matrix} v_{1} \\ v_{2} \\ v_{3} \\ v_{4} \end{matrix}), (\begin{matrix} x \\ y \\ z \\ w \end{matrix}) + (\begin{matrix} v_{1} \\ v_{2} \\ v_{3} \\ v_{4} \end{matrix}) ⟩ \\ = ⟨ (\begin{matrix} x + v_{1} \\ y + v_{2} \\ z + v_{3} \\ w + v_{4} \end{matrix}), (\begin{matrix} x + v_{1} \\ y + v_{2} \\ z + v_{3} \\ w + v_{4} \end{matrix}) ⟩ \\ = {(x + v_{1})}^{2} + {(y + v_{2})}^{2} + {(z + v_{3})}^{2} - {(w + v_{4})}^{2} \\ = x^{2} + 2 x v_{1} + v_{1}^{2} + y^{2} + 2 y v_{2} + v_{2}^{2} + z^{2} + 2 z v_{3} + v_{3}^{2} - w^{2} - 2 w v_{4} - v_{4}^{2} \\ = x^{2} + y^{2} + z^{2} - w^{2} + 2 x v_{1} + 2 y v_{2} + 2 z v_{3} - 2 w v_{4} + v_{1}^{2} + v_{2}^{2} + v_{3}^{2} - v_{4}^{2} \\ = 0 \end{matrix}$

aufgrund der Bedingungen an $P$ und $v$ , was die Lichtartigkeit bedeutet.
Betrachte $P = (\begin{matrix} 1 \\ 0 \\ 0 \\ 1 \end{matrix})$ und
$v = (\begin{matrix} 0 \\ 1 \\ - 1 \\ 0 \end{matrix}) .$

In diesem Fall ist

$P + v = (\begin{matrix} 1 \\ 1 \\ - 1 \\ 1 \end{matrix})$

nicht lichtartig.

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