Mittelwertsatz/2/Variante gilt nicht/Aufgabe/Kommentar

Bei dieser Aufgabe machen wir uns zunächst die Analogie zum Mittelwertsatz klar. Analog zum Mittelwertsatz in einer Variablen könnte man erwarten, dass auch für eine Kurve im Höherdimensionalen ${}f\colon [a,b]\to \mathbb {R} ^{n}$ die Ableitung ${}f'(c)$ an mindestens einem Punkt ${}c\in [a,b]$ den Durchschnittswert ${}{\frac {f(b)-f(a)}{b-a}}$ annimmt. Physikalisch hätte dies die Interpretation, dass ein Zeitpunkt zwischen Start und Ziel existiert, an dem die durchschnittliche Geschwindigkeit (Gesamtentfernung pro Gesamtzeit) angenommen wird. Hierbei besitzt die Geschwindgkeit auch Informationen über die Richtung. Es ist eine vektorielle Größe.

In Beispiel haben wir gesehen, dass diese Gleichheit nicht gilt, falls Start- und Zielpunkt übereinstimmen, und deshalb auch im Allgemeinen nicht gelten kann. Wohl aber gilt eine Abschätzung wie in Fakt.

In der vorliegenden Aufgabe sollen Start- und Zielpunkt verschieden sein. Wir betrachten nicht die Durchschnittsgeschwindigkeit selbst, sondern ${}s\cdot (f(b)-f(a))$ für ein beliebiges ${}s\in \mathbb {R} ,s\neq 0$. Dabei handelt es sich um einen Vektor, der in die Richtung der Durchschnittsgeschwindigkeit zeigt, aber vom Betrag her abweichen kann.

Eine mögliche Herangehensweise ist es mit einem beliebigen Beispiel zu starten, um zu schauen was schiefgeht. Beispielsweise könnten wir eine Kurve wählen, die die beiden Punkte ${}f(a),f(b)$ auf einem Halbkreis verbindet, um zu erreichen, dass die Geschwindigkeitsrichtung möglichst verschieden von ${}f(b)-f(a)$ ist. Dabei fällt allerdings auf, dass nach dem Durchlaufen eines Viertelkreises die Richtungen übereinstimmen – also nur in einem einzelnen Punkt.

Davon ausgehend können wir das Beispiel nun so abändern, dass sich in diesem Punkt die Geschwindigkeit ändert – beispielsweise verkürzt. Wie in Aufgabe beobachtet wurde, lässt sich die Geschwindigkeit sogar auf Null verringern, ohne dass die Differenzierbarkeit verloren geht.

Da ${}s\neq 0$ gefordert ist, lässt sich mit dieser Beobachtung das gewünschte Gegenbeispiel konstruieren. Wie immer genügt es ein einziges Gegenspiel zu finden, um eine Aussage zu widerlegen.

Zur kommentierten Aufgabe