Modallogik/Ableitung/Notwendigkeitsversion/Fakt/Beweis

Beweis

Die Ableitbarkeit bedeutet, dass es Ausdrücke ${}\beta _{1},\ldots ,\beta _{n}\in \Gamma$ mit

$\vdash \beta _{1}\wedge \ldots \wedge \beta _{n}\rightarrow \alpha$

gibt. Nach Fakt  (1) ist

$\vdash \Box (\beta _{1}\wedge \ldots \wedge \beta _{n})\rightarrow \Box \alpha .$

Aus Fakt  (4) folgt durch Induktion sofort

$\vdash \Box \beta _{1}\wedge \ldots \wedge \Box \beta _{n}\rightarrow \Box (\beta _{1}\wedge \ldots \wedge \beta _{n})$

und somit mit dem Kettenschluss

$\vdash \Box \beta _{1}\wedge \ldots \wedge \Box \beta _{n}\rightarrow \Box \alpha .$

Dies bedeutet

$\Box \beta _{1},\ldots ,\Box \beta _{n}\vdash \Box \alpha .$

Zur bewiesenen Aussage