Modallogik/K/Symmetrisch und euklidisch/Transitiv/Fakt/Beweis

Beweis

Es sei ${}S$ das in Frage stehende System. Eine spezielle Instanz des Symmetrieaxioms liefert

$S\vdash \Box \alpha \rightarrow \Box \Diamond \Box \alpha .$

Eine Umformulierung des euklidischen Axioms ist

$S\vdash \Diamond \Box \alpha \rightarrow \Box \alpha .$

Mit Fakt  (1) folgt daraus

$S\vdash \Box \Diamond \Box \alpha \rightarrow \Box \Box \alpha$

und insgesamt mit dem Kettenschluss

$S\vdash \Box \alpha \rightarrow \Box \Box \alpha .$

Zur bewiesenen Aussage