Modallogik/K/Systeme und Rahmen/Fakt/Beweis

Beweis

(1). Es sei ${}(M,R)$ gegeben. Es sei zunächst vorausgesetzt, dass in ${}R$ jedes Element einen Nachfolger besitzt und sei

$w\vDash \Box \alpha$

für eine Welt ${}w\in M$. Es sei ${}v\in M$ mit ${}wRv$. Dann ist

$v\vDash \alpha$

und somit

$w\vDash \Diamond \alpha ,$

also

$w\vDash \Box \alpha \rightarrow \Diamond \alpha .$

Es sei umgekehrt angenommen, dass ${}M$ eine Sackgassenwelt ${}w$ besitzt. Dann ist für eine beliebige Aussagenvariable ${}p$

$w\vDash \Box p,$

aber

$w\not \vDash \Diamond p,$

und das Möglichkeitsaxiom kann nicht gelten.

(2). Es sei ${}(M,R)$ gegeben. Es sei zunächst ${}R$ reflexiv und sei

$w\vDash \Box \alpha .$

Wegen ${}wRw$ ist insbesondere

$w\vDash \alpha$

und damit

$w\vDash \Box \alpha \rightarrow \alpha .$

Wenn ${}R$ nicht reflexiv ist, so sei ${}w\in M$ und ${}wRw$ gelte nicht. Es sei ${}\mu$ die Belegung, bei der

$w\vDash p$

gelte, aber in allen anderen Welten ${}v\vDash \neg p$. Dann ist

$w\vDash \neg \Diamond p,$

und somit ist

$w\not \vDash p\rightarrow \Diamond p.$

(3). Es sei ${}(M,R)$ gegeben. Es sei zunächst ${}R$ symmetrisch und sei

$w\vDash \alpha .$

Es sei eine von ${}w$ aus erreichbare Welt ${}v$ gegeben, also ${}wRv$. Wegen der Symmetrie ist auch ${}vRw$ und somit ist

$v\vDash \Diamond \alpha .$

Also ist

$w\vdash \Box \Diamond \alpha .$

Wenn ${}R$ hingegen nicht symmetrisch ist, so seien ${}w,v\in M$ Welten mit ${}wRv$, aber nicht ${}vRw$. Es sei ${}p$ eine Aussagenvariable und es sei ${}\mu$ die Belegung, bei der

$w\vDash p$

gelte und so, dass in allen von ${}v$ aus erreichbaren Welten ${}z\vDash \neg p$ gelte. Dann ist

$v\vDash \neg \Diamond p,$

und somit ist

$w\not \vDash \Box \Diamond p,$

also

$w\not \vDash p\rightarrow \Box \Diamond p.$

(4). Es sei ${}(M,R)$ gegeben. Es sei zunächst ${}R$ transitiv und sei

$w\vDash \Box \alpha .$

Es sei ${}wRv$ und ${}vRz$ und somit

$z\vDash \alpha .$

Also ist

$v\vDash \Box \alpha .$

und damit

$w\vDash \Box \Box \alpha .$

Es sei nun ${}R$ nicht transitiv und seien ${}w,v,z\in M$ Punkte mit ${}wRv$, ${}vRz$, aber nicht ${}wRz$. Es sei ${}p$ eine Aussagenvariable und sei ${}\mu$ die Belegung, bei der ${}p$ in allen von ${}w$ aus erreichbaren Welten gelte, in allen anderen Welten nicht. Dann ist

$w\vDash \Box p$

und

$v\not \vDash \Box p,$

da ja ${}z\not \vDash p$, und somit ist

$w\not \vDash \Box \Box p,$

also

$w\not \vDash \Box p\rightarrow \Box \Box p.$

(5). Es sei ${}(M,R)$ gegeben. Es sei zunächst ${}R$ euklidisch und sei

$w\vDash \Diamond \alpha .$

Somit gibt es eine Welt ${}v$ mit ${}wRv$ und mit

$v\vDash \alpha .$

Es sei ${}z$ eine Welt mit ${}wRz$. Nach der euklidischen Eigenschaft ist dann auch ${}zRv$, daher ist

$z\vDash \Diamond \alpha .$

Somit ist

$w\vDash \Box \Diamond \alpha .$

Es sei nun ${}R$ nicht euklidisch und seien ${}w,v,z\in M$ Punkte mit ${}wRv$, ${}wRz$, aber nicht ${}vRz$. Es sei ${}p$ eine Aussagenvariable und sei ${}\mu$ die Belegung, bei der ${}\neg p$ in allen von ${}v$ aus erreichbaren Welten gelte, in allen anderen Welten nicht. Dann ist

$z\vDash p$

und somit

$w\vDash \Diamond p.$

In ${}v$ gilt hingegen ${}\Box \neg p$, also

$v\vDash \neg \Diamond p.$

Somit gilt

$w\vDash \neg \Box \Diamond p$

und damit

$w\not \vDash \Diamond p\rightarrow \Box \Diamond p.$

(6). Wir arbeiten mit der Kontraposition des Löb-Axioms, also mit

$\Diamond \alpha \rightarrow \Diamond (\alpha \wedge \neg \Diamond \alpha ).$

Es sei zunächst vorausgesetzt, dass ${}(M,R)$ die graphentheoretischen Eigenschaften besitzt. Sei ${}w\in W$ und

$w\vDash \Diamond \alpha .$

Dann gibt es eine Welt ${}v\in M$ mit ${}wRv$ und mit

$v\vDash \alpha .$

Wir betrachten Ketten ${}vRv_{2},v_{2}Rv_{3},\ldots$ mit ${}v_{i}\vDash \alpha$. Da es keine unendliche Kette gibt, bricht eine solche Kette ab, sagen wir in ${}v_{n}$. In ${}v_{n}$ gilt dann

$v_{n}\vDash \alpha \wedge \neg \Diamond \alpha .$

Wegen der Transitivität ist ${}v_{n}$ von ${}w$ aus erreichbar und somit ist

$w\vDash \Diamond (\alpha \wedge \neg \Diamond \alpha ).$

Es sei nun vorausgesetzt, dass ${}(M,R)$ nicht die Eigenschaften erfüllt. Wenn ${}R$ nicht transitiv ist, so ist nach Fakt in Verbindung mit Fakt die Gültigkeit des Löb-Axioms ausgeschlossen. Es sei also eine unendlich lange Kette der Form ${}w_{n}Rw_{n+1}$ gegeben. Wir belegen ${}w_{n}\vDash p$ für alle ${}n\in \mathbb {N}$ und ${}v\vDash \neg p$ für alle anderen Welten. Dann gilt

$w_{0}\vDash \Diamond p\wedge \neg \Diamond (p\wedge \neg \Diamond p),$

da außerhalb der Kette stets ${}\neg p$ gilt und innerhalb der Kette stets ${}\Diamond p$ gilt.

Zur bewiesenen Aussage