Modallogik/K/Systeme und Rahmen/Fakt/Beweis

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Beweis

(1). Es sei gegeben. Sei zunächst vorausgesetzt, dass in jedes Element einen Nachfolger besitzt und sei

für eine Welt . Es sei mit . Dann ist

und somit

also

Sei umgekehrt angenommen, dass eine Sackgassenwelt besitzt. Dann ist für eine beliebige Aussagenvariable

aber

und das Möglichkeitsaxiom kann nicht gelten.

(2). Es sei gegeben. Sei zunächst reflexiv und sei

Wegen ist insbesondere

Wenn nicht reflexiv ist, so sei und gelte nicht. Es sei die Belegung, bei der

gelte, aber in allen anderen Welten . Dann ist

und somit ist

(3). Es sei gegeben. Sei zunächst symmetrisch und sei

Es sei eine von aus erreichbare Welt gegeben, also . Wegen der Symmetrie ist auch und somit ist

Also ist

Wenn hingegen nicht symmetrisch ist, so seien Welten mit , aber nicht . Es sei eine Aussagenvariable und es sei die Belegung, bei der

gelte und so, dass in allen von aus erreichbaren Welten gelte. Dann ist

und somit ist

also

(4). Es sei gegeben. Sei zunächst transitiv und sei

Es sei und und somit

Also ist

und damit

Es sei nun nicht transitiv und seien Punkte mit , , aber nicht . Es sei eine Aussagenvariable und sei die Belegung, bei der in allen von aus erreichbaren Welten gelte, in allen anderen Welten nicht. Dann ist

und

da ja , und somit ist

also

(5). Es sei gegeben. Sei zunächst euklidisch und sei

Somit gibt es eine Welt mit und mit

Es sei eine Welt mit . Nach der euklidischen Eigenschaft ist dann auch , daher ist

Somit ist

Es sei nun nicht euklidisch und seien Punkte mit , , aber nicht . Es sei eine Aussagenvariable und sei die Belegung, bei der in allen von aus erreichbaren Welten gelte, in allen anderen Welten nicht. Dann ist

und somit

In gilt hingegen , also

Somit gilt

und damit

(6). Wir arbeiten mit der Kontraposition des Löb-Axioms, also mit

Sei zunächst vorausgesetzt, dass die graphentheoretischen Eigenschaften besitzt. Sei und

Dann gibt es eine Welt mit und mit

Wir betrachten Ketten mit . Da es keine unendliche Kette gibt, bricht eine solche Kette ab, sagen wir in . In gilt dann

Wegen der Transitivität ist von aus erreichbar und somit ist

Sei nun vorausgesetzt, dass nicht die Eigenschaften erfüllt. Wenn nicht transitiv ist, so ist nach Fakt in Verbindung mit Fakt die Gültigkeit des Löb-Axioms ausgeschlossen. Es sei also eine unendlich lange Kette der Form gegeben. Wir belegen für alle und für alle anderen Welten. Dann gilt

da außerhalb der Kette stets gilt und innerhalb der Kette stets gilt.