Modallogik/K/Systeme und Rahmen/Fakt/Beweis

Beweis

(1). Es sei $(M,R)$ gegeben. Es sei zunächst vorausgesetzt, dass in $R$ jedes Element einen Nachfolger besitzt und sei

$w\models ◻\alpha$

für eine Welt  $w\in M$.  Es sei  $v\in M$  mit $wRv$. Dann ist

$v\models \alpha$

und somit

$w\models ◊\alpha ,$

also

$w\models ◻\alpha \to ◊\alpha .$

Es sei umgekehrt angenommen, dass $M$ eine Sackgassenwelt $w$ besitzt. Dann ist für eine beliebige Aussagenvariable $p$

$w\models ◻p,$

aber

$w\models ̸◊p,$

und das Möglichkeitsaxiom kann nicht gelten.

(2). Es sei $(M,R)$ gegeben. Es sei zunächst $R$ reflexiv und sei

$w\models ◻\alpha .$

Wegen $wRw$ ist insbesondere

$w\models \alpha$

und damit

$w\models ◻\alpha \to \alpha .$

Wenn $R$ nicht reflexiv ist, so sei  $w\in M$  und $wRw$ gelte nicht. Es sei $\mu$ die Belegung, bei der

$w\models p$

gelte, aber in allen anderen Welten $v\models \mathrm{\neg }p$. Dann ist

$w\models \mathrm{\neg }◊p,$

und somit ist

$w\models ̸p\to ◊p.$

(3). Es sei $(M,R)$ gegeben. Es sei zunächst $R$ symmetrisch und sei

$w\models \alpha .$

Es sei eine von $w$ aus erreichbare Welt $v$ gegeben, also $wRv$. Wegen der Symmetrie ist auch $vRw$ und somit ist

$v\models ◊\alpha .$

Also ist

$w⊢◻◊\alpha .$

Wenn $R$ hingegen nicht symmetrisch ist, so seien  $w,v\in M$  Welten mit $wRv$, aber nicht $vRw$. Es sei $p$ eine Aussagenvariable und es sei $\mu$ die Belegung, bei der

$w\models p$

gelte und so, dass in allen von $v$ aus erreichbaren Welten $z\models \mathrm{\neg }p$ gelte. Dann ist

$v\models \mathrm{\neg }◊p,$

und somit ist

$w\models ̸◻◊p,$

also

$w\models ̸p\to ◻◊p.$

(4). Es sei $(M,R)$ gegeben. Es sei zunächst $R$ transitiv und sei

$w\models ◻\alpha .$

Es sei $wRv$ und $vRz$ und somit

$z\models \alpha .$

Also ist

$v\models ◻\alpha .$

und damit

$w\models ◻◻\alpha .$

Es sei nun $R$ nicht transitiv und seien  $w,v,z\in M$  Punkte mit $wRv$, $vRz$, aber nicht $wRz$. Es sei $p$ eine Aussagenvariable und sei $\mu$ die Belegung, bei der $p$ in allen von $w$ aus erreichbaren Welten gelte, in allen anderen Welten nicht. Dann ist

$w\models ◻p$

und

$v\models ̸◻p,$

da ja $z\models ̸p$, und somit ist

$w\models ̸◻◻p,$

also

$w\models ̸◻p\to ◻◻p.$

(5). Es sei $(M,R)$ gegeben. Es sei zunächst $R$ euklidisch und sei

$w\models ◊\alpha .$

Somit gibt es eine Welt $v$ mit $wRv$ und mit

$v\models \alpha .$

Es sei $z$ eine Welt mit $wRz$. Nach der euklidischen Eigenschaft ist dann auch $zRv$, daher ist

$z\models ◊\alpha .$

Somit ist

$w\models ◻◊\alpha .$

Es sei nun $R$ nicht euklidisch und seien  $w,v,z\in M$  Punkte mit $wRv$, $wRz$, aber nicht $vRz$. Es sei $p$ eine Aussagenvariable und sei $\mu$ die Belegung, bei der $\mathrm{\neg }p$ in allen von $v$ aus erreichbaren Welten gelte, in allen anderen Welten nicht. Dann ist

$z\models p$

und somit

$w\models ◊p.$

In $v$ gilt hingegen $◻\mathrm{\neg }p$, also

$v\models \mathrm{\neg }◊p.$

Somit gilt

$w\models \mathrm{\neg }◻◊p$

und damit

$w\models ̸◊p\to ◻◊p.$

(6). Wir arbeiten mit der Kontraposition des Löb-Axioms, also mit

$◊\alpha \to ◊(\alpha \wedge \mathrm{\neg }◊\alpha ).$

Es sei zunächst vorausgesetzt, dass $(M,R)$ die graphentheoretischen Eigenschaften besitzt. Sei  $w\in W$  und

$w\models ◊\alpha .$

Dann gibt es eine Welt  $v\in M$  mit $wRv$ und mit

$v\models \alpha .$

Wir betrachten Ketten $vR{v}_2,v_{2}R{v}_3,\dots$ mit $v_i\models \alpha$. Da es keine unendliche Kette gibt, bricht eine solche Kette ab, sagen wir in $v_n$. In $v_n$ gilt dann

$v_n\models \alpha \wedge \mathrm{\neg }◊\alpha .$

Wegen der Transitivität ist $v_n$ von $w$ aus erreichbar und somit ist

$w\models ◊(\alpha \wedge \mathrm{\neg }◊\alpha ).$

Es sei nun vorausgesetzt, dass $(M,R)$ nicht die Eigenschaften erfüllt. Wenn $R$ nicht transitiv ist, so ist nach Fakt in Verbindung mit Fakt die Gültigkeit des Löb-Axioms ausgeschlossen. Es sei also eine unendlich lange Kette der Form $w_{n}R{w}_{n+1}$ gegeben. Wir belegen $w_n\models p$ für alle  $n\in \mathbb{N}$  und $v\models \mathrm{\neg }p$ für alle anderen Welten. Dann gilt

$w_0\models ◊p\wedge \mathrm{\neg }◊(p\wedge \mathrm{\neg }◊p),$

da außerhalb der Kette stets $\mathrm{\neg }p$ gilt und innerhalb der Kette stets $◊p$ gilt.

Zur bewiesenen Aussage