Beweis
Wir betrachten die Menge
-

die
umfasst, da
unter der Nezessisierungsregel abgeschlossen ist. Wir behaupten, dass diese Menge widerspruchsfrei ist. Andernfalls würde es endliche viele
mit
geben mit
-
Dies schreiben wir als
-
Nach
Fakt
ist dann auch
-
Wegen des
-Axioms ist
-
und somit
-
Da der Vordersatz zu
gehört, und
abgeschlossen unter Implikationen ist, ist auch
-
Da
eine Tautologie ist und wegen der Nezessisierungsregel
(die ja für Tautologien gilt)
ergibt sich
-

was ein Widerspruch zu
angesichts der Widerspruchsfreiheit von
ist.
Somit ist
widerspruchsfrei. Sei
eine maximal widerspruchsfreie Teilmenge von
, die es nach
Fakt
gibt. Es sei
.
Dann ist
.
Andernfalls wäre nämlich wegen der Maximalität
(von
)
,
doch dann wäre
.
Es gilt also
.