Modallogik/Möglichkeitsaussage/Weltrealisierung/Fakt/Beweis

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Beweis

Wir betrachten die Menge

die umfasst, da unter der Nezessisierungsregel abgeschlossen ist. Wir behaupten, dass diese Menge widerspruchsfrei ist. Andernfalls würde es endliche viele mit geben mit

Dies schreiben wir als

Nach Fakt ist dann auch

Wegen des -Axioms ist

und somit

Da der Vordersatz zu gehört, und abgeschlossen unter Implikationen ist, ist auch

Da eine Tautologie ist und wegen der Nezessisierungsregel (die ja für Tautologien gilt) ergibt sich

was ein Widerspruch zu angesichts der Widerspruchsfreiheit von ist.

Somit ist widerspruchsfrei. Sei eine maximal widerspruchsfreie Teilmenge von , die es nach Fakt gibt. Es sei . Dann ist . Andernfalls wäre nämlich wegen der Maximalität (von ) , doch dann wäre . Es gilt also .