Beweis
Wir betrachten die Menge
-
![{\displaystyle {}V'={\left\{\beta \mid \Box \beta \in W\right\}}\cup \{\alpha \}\,,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/31465c765b8b30a21a5a30d0e555f310bc318318)
die
umfasst, da
unter der Nezessisierungsregel abgeschlossen ist. Wir behaupten, dass diese Menge widerspruchsfrei ist. Andernfalls würde es endliche viele
mit
geben mit
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Dies schreiben wir als
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Nach
Fakt
ist dann auch
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Wegen des
-Axioms ist
-
und somit
-
Da der Vordersatz zu
gehört, und
abgeschlossen unter Implikationen ist, ist auch
-
Da
eine Tautologie ist und wegen der Nezessisierungsregel
(die ja für Tautologien gilt)
ergibt sich
-
![{\displaystyle {}\Box \neg \alpha \in W\,,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/080f96f17a1f8d209582e5f7517012e6fb464aa5)
was ein Widerspruch zu
angesichts der Widerspruchsfreiheit von
ist.
Somit ist
widerspruchsfrei. Sei
eine maximal widerspruchsfreie Teilmenge von
, die es nach
Fakt
gibt. Es sei
.
Dann ist
.
Andernfalls wäre nämlich wegen der Maximalität
(von
)
,
doch dann wäre
.
Es gilt also
.