Beweis
Wir definieren induktiv die Homotopien
-
und legen
-
als die Nullabbildung fest
(
ist aber im Allgemeinen nicht injektiv).
Nehmen wir nun an, dass die Homotopien bis einschließlich
schon konstruiert seien. Es liegt ein kommutatives Diagramm
-
vor, und es gilt
-
![{\displaystyle {}\varphi _{n-1}-\psi _{n-1}=e_{n-1}\circ \Theta _{n-2}+\Theta _{n-1}\circ d_{n}\,.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/94e68b60e3ded702018c89d96faf9e6c1b3ca89c)
Wir betrachten den Homomorphismus
von
nach
. Für
gilt dabei
![{\displaystyle {}{\begin{aligned}{\left(\varphi _{n}-\psi _{n}-e_{n}\circ \Theta _{n-1}\right)}(d_{n}(x))&={\left(\varphi _{n}-\psi _{n}\right)}(d_{n}(x))-{\left(e_{n}\circ \Theta _{n-1}\right)}(d_{n}(x))\\&={\left(\varphi _{n}-\psi _{n}\right)}(d_{n}(x))-e_{n}(\Theta _{n-1}(d_{n}(x)))\\&={\left(\varphi _{n}-\psi _{n}\right)}(d_{n}(x))-e_{n}(-e_{n-1}(\Theta _{n-2}(x))+\varphi _{n-1}(x)-\psi _{n-1}(x))\\&=\varphi _{n}(d_{n}(x))-\psi _{n}(d_{n}(x))-e_{n}(\varphi _{n-1}(x))+e_{n}(\psi _{n-1}(x))\\&=\varphi _{n}(d_{n}(x))-e_{n}(\varphi _{n-1}(x))-\psi _{n}(d_{n}(x))+e_{n}(\psi _{n-1}(x))\\&=0,\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b44ac377d40b802af8b67e6fe9ea73ab7512ded7)
da ja die
als auch die
mit den Ableitungen kommutieren. Dies bedeutet, dass
das Bild von
auf
abbildet. Wir haben also einen induzierten Homomorphismus
-
Da der Komplex
exakt ist, liegt eine injektive Abbildung
-
vor, und da
injektiv ist, ergibt sich eine Fortsetzung
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Dabei gilt
-
![{\displaystyle {}\varphi _{n}-\psi _{n}-e_{n}\circ \Theta _{n-1}=-\Theta _{n}\circ d_{n+1}\,.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/38552ef6a7bc05810fd6934f5fc36f3df60b1927)