Modul/Exakter Komplex und injektive Auflösung/Homotopie/Fakt/Beweis

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Beweis

Wir definieren induktiv die Homotopien

und legen

als die Nullabbildung fest ( ist aber im Allgemeinen nicht injektiv). Nehmen wir nun an, dass die Homotopien bis einschließlich schon konstruiert seien. Es liegt ein kommutatives Diagramm

vor, und es gilt

Wir betrachten den Homomorphismus von nach . Für gilt dabei

da ja die als auch die mit den Ableitungen kommutieren. Dies bedeutet, dass das Bild von auf abbildet. Wir haben also einen induzierten Homomorphismus

Da der Komplex exakt ist, liegt eine injektive Abbildung

vor, und da injektiv ist, ergibt sich eine Fortsetzung

Dabei gilt

Zur bewiesenen Aussage