Modul/Exakter Komplex und injektive Auflösung/Homotopie/Fakt

Es sei ${}M$ ein ${}R$-Modul über einem kommutativen Ring ${}R$. Es sei

$0\longrightarrow M\longrightarrow L_{0}\longrightarrow L_{1}\longrightarrow \ldots$

ein exakter Komplex und es sei

$0\longrightarrow M\longrightarrow I_{0}\longrightarrow I_{1}\longrightarrow \ldots$

ein Komplex, wobei die Moduln ${}I_{n}$ injektiv seien. Es seien

$\varphi ,\psi \colon L_{\bullet }\longrightarrow I_{\bullet }$

Homomorphismen von Kettenkomplexen.

Dann sind ${}\varphi$ und ${}\psi$ homotop.

Zum Beweis, Alternativen Beweis erstellen