Modul/Injektive Auflösung/Komplex/Anfangshomomorphismus/Fakt/Beweis

Beweis

Die Existenz der kommutierenden Homomorphismen wird durch Induktion über ${}n$ bewiesen. Zum Homomorphismus ${}L\rightarrow M\subseteq I_{0}$ gibt es wegen ${}L\subseteq L_{0}$ und der Injektivität von ${}I_{0}$ einen kommutierenden Homomorphismus

$\varphi _{0}\colon L_{0}\longrightarrow I_{0},$

dies sichert den Induktionsanfang. Es sei nun die Existenz der Homomorphismen bis ${}\varphi _{n}$ bereits bewiesen. Wir betrachten das kommutative Diagramm

${\begin{matrix}L_{n-1}&{\stackrel {}{\longrightarrow }}&L_{n}&{\stackrel {}{\longrightarrow }}&L_{n+1}&\\\!\!\!\!\!\varphi _{n-1}\downarrow &&\!\!\!\!\!\varphi _{n}\downarrow &&\downarrow &&\\I_{n-1}&{\stackrel {}{\longrightarrow }}&I_{n}&{\stackrel {}{\longrightarrow }}&I_{n+1}&\!\!\!\!\!,\\\end{matrix}}$

wobei der rechte vertikale Pfeil zu konstruieren ist. Es liegt eine Injektion

$L_{n}/\operatorname {bild} L_{n-1}\longrightarrow L_{n+1}$

vor, und wegen der Kommutativität wird ${}L_{n-1}$ insgesamt auf ${}0$ nach ${}I_{n+1}$ hinein abgebildet. Daher liegt ein Homomorphismus

$L_{n}/\operatorname {bild} L_{n-1}\longrightarrow I_{n+1}$

vor und dieser besitzt eine Fortsetzung nach ${}L_{n+1}$.

Zur bewiesenen Aussage