Modul/Kommutativer Ring/Allgemeines Distributivgesetz/Aufgabe/Lösung

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Wir beweisen die Aussage durch eine Doppelinduktion über . Die Fälle

sind unmittelbar klar bzw. folgen direkt aus den Modulaxiomen.

Die Aussage für und beliebige beweisen für durch Induktion nach , wobei der Induktionsanfang durch die Vorbemerkung gesichert ist. Sei die Aussage für ein schon bewiesen, und seien Vektoren gegeben. Dann ist unter Verwendung des Falles und der Induktionsvoraussetzung

Wir betrachten nun die Aussage für ein festes und beliebige . Für ist diese Aussage bereits bewiesen. Sei diese Aussage nun für ein festes schon bewiesen Es seien Skalare und Vektoren gegeben. Dann ist unter Verwendung der Fälle und der Induktionsvoraussetzung