Modul/Kommutativer Ring/Allgemeines Distributivgesetz/Aufgabe/Lösung

Wir beweisen die Aussage durch eine Doppelinduktion über  ${}k,n\geq 1$.  Die Fälle

${}(k,n)=(1,1),\,(1,2),\,(2,1)\,$

sind unmittelbar klar bzw. folgen direkt aus den Modulaxiomen.

Die Aussage für  ${}k=1$  und beliebige ${}n$ beweisen für durch Induktion nach ${}n$, wobei der Induktionsanfang durch die Vorbemerkung gesichert ist. Es sei die Aussage für ein ${}n$ schon bewiesen, und seien ${}n+1$ Vektoren  ${}v_{1},\ldots ,v_{n},v_{n+1}\in V$  gegeben. Dann ist unter Verwendung des Falles ${}(1,2)$ und der Induktionsvoraussetzung

${}{\begin{aligned}s\left(\sum _{j=1}^{n+1}v_{j}\right)&=s\left(\sum _{j=1}^{n}v_{j}+v_{n+1}\right)\\&=s\left(\sum _{j=1}^{n}v_{j}\right)+sv_{n+1}\\&=\sum _{1\leq j\leq n}s\cdot v_{j}+sv_{n+1}\\&=\sum _{1\leq j\leq n+1}s\cdot v_{j}.\end{aligned}}$

Wir betrachten nun die Aussage für ein festes ${}k$ und beliebige ${}n$. Für  ${}k=1$  ist diese Aussage bereits bewiesen. Es sei diese Aussage nun für ein festes ${}k$ schon bewiesen Es seien Skalare  ${}s_{1},\ldots ,s_{k},s_{k+1}\in R$  und Vektoren  ${}v_{1},\ldots ,v_{n}\in V$  gegeben. Dann ist unter Verwendung der Fälle  ${}(k,n)=(2,1),(1,n)$  und der Induktionsvoraussetzung

${}{\begin{aligned}\left(\sum _{i=1}^{k+1}s_{i}\right)\cdot \left(\sum _{j=1}^{n}v_{j}\right)&=\left(\sum _{i=1}^{k}s_{i}+s_{k+1}\right)\cdot \left(\sum _{j=1}^{n}v_{j}\right)\\&=\left(\sum _{i=1}^{k}s_{i}\right)\cdot \left(\sum _{j=1}^{n}v_{j}\right)+s_{k+1}\cdot \left(\sum _{j=1}^{n}v_{j}\right)\\&=\sum _{1\leq i\leq k,\,1\leq j\leq n}s_{i}\cdot v_{j}+\sum _{j=1}^{n}s_{k+1}\cdot v_{j}\\&=\sum _{1\leq i\leq k+1,\,1\leq j\leq n}s_{i}\cdot v_{j}.\end{aligned}}$

Zur gelösten Aufgabe