Modul mit Torsion/Doppelpaar/Komomologie der Einheitengarbe/K-Realisierung/Beispiel

Der Monoidring zum Monoid ${}N$ aus Beispiel ist

${}R=K[N]=K[X,Y,V,W]/(X^{n}-V^{n},Y^{n}-W^{n})\,.$

Es ist

${}R_{X}=K[X,X^{-1},S]/(S^{n}-1)[Y,W]/(Y^{n}-W^{n})\,$

(mit ${}S=V/X$) und die Einheiten sind ${}\mathbb {Z} \times (K^{\times })^{n}$. Ferner ist

${}R_{XY}=K[X,X^{-1},Y,Y^{-1},S,T]/(S^{n}-1,T^{n}-1)\,$

und die Einheiten sind ${}\mathbb {Z} \times \mathbb {Z} \times (K^{\times })^{n^{2}}$. Auf den konstanten Einheiten ergibt sich der Cech-Komplex

$K^{\times }\longrightarrow (K^{\times })^{n}\times (K^{\times })^{n}\longrightarrow (K^{\times })^{n^{2}}$

und eine große Picardgruppe, obwohl die kombinatorische Picardgruppe trivial ist.