Modultheorie/Assoziierte Primideale/Kurze exakte Sequenz/Fakt/Beweis

Beweis

Die erste Inklusion ist klar. Es sei ${}{\mathfrak {p}}\in \operatorname {Ass} {\left(N\right)}$ und ${}{\mathfrak {p}}\notin \operatorname {Ass} {\left(M\right)}$. Es sei

${}{\mathfrak {p}}=\operatorname {Ann} _{}{\left(v\right)}\,,$

${}v\in N$. Wir betrachten die Modulkette

${}M\cap Rv\subseteq Rv\cong R/{\mathfrak {p}}\,.$

Wäre ${}M\cap Rv$ nicht ${}0$, so wäre nach Fakt das Primideal ${}{\mathfrak {p}}$ doch ein assoziiertes Primideal von ${}M$ im Widerspruch zur Voraussetzung. Also ist

${}M\cap Rv=0\,$

und somit erhalten wir eine injektive Abbildung

$Rv\longrightarrow P,$

die zeigt, dass ${}{\mathfrak {p}}$ ein assoziiertes Primideal von ${}P$ ist.

Zur bewiesenen Aussage