Modultheorie/Assoziierte Primideale/Noethersch/Endliche Filtration/Fakt/Beweis

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Beweis

Bei ist nichts zu zeigen, sei also . Dann gibt es nach Fakt ein derart, dass

ein Primideal ist. Somit liegt ein Untermodul

vor, den wir mit bezeichnen. Bei sind wir fertig. Andernfalls finden wir im Restklassenmodul wieder ein von verschiedenes Element , dessen Annullator ein Primideal ist. Wir setzen als das Urbild von unter der Projektion

an und fahren in dieser Weise fort. So entsteht eine aufsteigende Folge von Untermoduln von mit der besagten Eigenschaft. Diese muss nach Fakt nach endlich vielen Schritten abbrechen.