Modultheorie (kommutative Algebra)/Noethersche Moduln/Kurze exakte Sequenz/Äquivalentes Kriterium/Fakt/Beweis

Beweis

Sei zunächst ${}M$ noethersch, und ${}U\subseteq M_{1}$ ein Untermodul. Dann ist ${}U$ direkt auch ein Untermodul von ${}M$, also nach Voraussetzung endlich erzeugt. Sei nun ${}V\subseteq M_{3}$ ein Untermodul des Restklassenmoduls. Das Urbild von ${}V$ in ${}M$ unter der Restklassenabbildung sei ${}{\tilde {V}}$. Dieser Modul ist nach Voraussetzung endlich erzeugt, und die Bilder eines solchen Erzeugendensystems erzeugen auch den Bildmodul ${}V$.

Seien nun die äußeren Moduln ${}M_{1}$ und ${}M_{3}$ noethersch, und sei ${}U\subseteq M$ ein Untermodul. Es sei ${}U_{3}\subseteq M_{3}$ der Bild-Untermodul davon. ${}U_{3}$ wird von endlich vielen Elementen ${}s_{1},\ldots ,s_{n}$ erzeugt, und wir können annehmen, dass diese ${}s_{i}={\overline {r}}_{i}$ die Bilder von Elementen ${}r_{i}\in U$ sind. Betrachte ${}U\cap M_{1}$. Dies ist ein Untermodul von ${}M_{1}$, und daher endlich erzeugt, sagen wir von ${}t_{1},\ldots ,t_{k}$, die wir als Elemente in ${}U$ auffassen. Wir behaupten, dass

$r_{1},\ldots ,r_{n},t_{1},\ldots ,t_{k}$

ein Erzeugendensystem von ${}U$ bilden. Sei dazu ${}m\in U$ ein beliebiges Element. Dann ist ${}{\overline {m}}=\sum _{i=1}^{n}a_{i}s_{i}$ und daher geht das Element ${}m-\sum _{i=1}^{n}a_{i}r_{i}$ rechts auf ${}0$. Dann gehört es aber zum Kern der Restklassenabbildung, also zu ${}M_{1}$. Andererseits gehört dieses Element auch zu ${}U$, also zum Durchschnitt ${}M_{1}\cap U$, der ja von den ${}t_{1},\ldots ,t_{k}$ erzeugt wird. Also kann man

${}m-\sum _{i=1}^{n}a_{i}r_{i}=\sum _{j=1}^{k}b_{j}t_{j}\,$

bzw. ${}m=\sum _{i=1}^{n}a_{i}r_{i}+\sum _{j=1}^{k}b_{j}t_{j}$ schreiben.

Zur bewiesenen Aussage