Modultheorie (kommutative Algebra)/Noethersche Moduln/Kurze exakte Sequenz/Äquivalentes Kriterium/Fakt/Beweis

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Beweis

Sei zunächst noethersch, und ein Untermodul. Dann ist direkt auch ein Untermodul von , also nach Voraussetzung endlich erzeugt. Sei nun ein Untermodul des Restklassenmoduls. Das Urbild von in unter der Restklassenabbildung sei . Dieser Modul ist nach Voraussetzung endlich erzeugt, und die Bilder eines solchen Erzeugendensystems erzeugen auch den Bildmodul .

Seien nun die äußeren Moduln und noethersch, und sei ein Untermodul. Es sei der Bild-Untermodul davon. wird von endlich vielen Elementen erzeugt, und wir können annehmen, dass diese die Bilder von Elementen sind. Betrachte . Dies ist ein Untermodul von , und daher endlich erzeugt, sagen wir von , die wir als Elemente in auffassen. Wir behaupten, dass

ein Erzeugendensystem von bilden. Sei dazu ein beliebiges Element. Dann ist und daher geht das Element rechts auf . Dann gehört es aber zum Kern der Restklassenabbildung, also zu . Andererseits gehört dieses Element auch zu , also zum Durchschnitt , der ja von den erzeugt wird. Also kann man

bzw. schreiben.