Beweis
Es sei zunächst
noethersch, und
ein Untermodul. Dann ist
direkt auch ein Untermodul von
, also nach Voraussetzung endlich erzeugt. Es sei nun
ein Untermodul des Restklassenmoduls. Das Urbild von
in
unter der Restklassenabbildung sei
. Dieser Modul ist nach Voraussetzung endlich erzeugt, und die Bilder eines solchen Erzeugendensystems erzeugen auch den Bildmodul
.
Es seien nun die äußeren Moduln
und
noethersch, und sei
ein Untermodul. Es sei
der Bild-Untermodul davon.
wird von endlich vielen Elementen
erzeugt, und wir können annehmen, dass diese
die Bilder von Elementen
sind. Betrachte
. Dies ist ein Untermodul von
, und daher endlich erzeugt, sagen wir von
, die wir als Elemente in
auffassen. Wir behaupten, dass
-
ein Erzeugendensystem von
bilden. Es sei dazu
ein beliebiges Element. Dann ist
und daher geht das Element
rechts auf
. Dann gehört es aber zum Kern der Restklassenabbildung, also zu
. Andererseits gehört dieses Element auch zu
, also zum Durchschnitt
, der ja von den
erzeugt wird. Also kann man
-

bzw.
schreiben.