Modus Barbara/Ableitbarkeit/Aufgabe/Lösung

Aus aussagenlogischen Gründen (Transitivität der Implikation) gilt

$\vdash (Ax\rightarrow Bx)\wedge (Bx\rightarrow Cx)\rightarrow (Ax\rightarrow Cx).$

Aus einer ableitbaren Implikation

$\vdash \alpha \rightarrow \beta$

ergibt sich mittels der Alleinführung im Antezedens

$\vdash \forall x\alpha \rightarrow \alpha$

und dem Kettenschluss

$\vdash \forall x\alpha \rightarrow \beta$

und daraus mit der Alleinführung im Sukzedens, die anwendbar ist, da ${}x$ vorne und in ${}\forall x\beta$ gebunden ist,

$\vdash \forall x\alpha \rightarrow \forall x\beta .$

Angewendet auf die eingangs aufgeführte Situation ergibt dies

$\vdash \forall x((Ax\rightarrow Bx)\wedge (Bx\rightarrow Cx))\rightarrow \forall x(Ax\rightarrow Cx).$

Nach Fakt  (2) ist

$\vdash \forall x{\left(\alpha \wedge \beta \right)}\leftrightarrow {\left(\forall x\alpha \wedge \forall x\beta \right)}$

und so kann man vorne die Allaussage der Konjunktion durch die Konjunktion der Allaussagen ersetzen und erhält die Behauptung.

Zur gelösten Aufgabe