Es sei m = ( r , s ) ∈ M {\displaystyle {}m=(r,s)\in M} . Wenn m {\displaystyle {}m} in M {\displaystyle {}M} eine Einheit ist, so gilt dies erst recht in N × Z / ( n ) {\displaystyle {}\mathbb {N} \times \mathbb {Z} /(n)} , da ja das zu m {\displaystyle {}m} inverse Element auch zu N × Z / ( n ) {\displaystyle {}\mathbb {N} \times \mathbb {Z} /(n)} gehört. Es sei nun m {\displaystyle {}m} eine Einheit in N × Z / ( n ) {\displaystyle {}\mathbb {N} \times \mathbb {Z} /(n)} . Dann muss zunächst r = 0 {\displaystyle {}r=0} sein. Das Inverse zu m = ( 0 , s ) {\displaystyle {}m=(0,s)} mit 0 ≤ s < n {\displaystyle {}0\leq s<n} ist in N × Z / ( n ) {\displaystyle {}\mathbb {N} \times \mathbb {Z} /(n)} durch ( 0 , n − s ) = ( 0 , − s ) {\displaystyle {}(0,n-s)=(0,-s)} gegeben. Wegen
.
Wenn 
in 
eine Einheit ist, so gilt dies erst recht in 
, da ja das zu inverse Element auch zu gehört. Es sei nun eine Einheit in . Dann muss zunächst
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gegeben. Wegen
