Monoidring/Nenneraufnahme/Aufgabe

Es sei ${}M$ ein kommutatives Monoid und sei  ${}f\in M$.  Wir betrachten die Menge

${}M_{f}=\left\{m-nf\mid m\in M,\,n\in \mathbb {N} \right\}/\sim \,,$

wobei die Relation

${}m-nf\sim m'-n'f\,$

genau dann gilt, wenn es ein  ${}k\in \mathbb {N}$  derart gibt, dass

${}m+n'f+kf=m'+nf+kf\,$

in ${}M$ gilt.

a) Zeige, dass ${}\sim$ eine Äquivalenzrelation ist.

b) Definiere auf ${}M_{f}$ eine Monoidstruktur.

c) Es sei ${}R$ ein kommutativer Ring und sei  ${}T^{f}\in R[M]$  das Monom zu ${}f$ im Monoidring. Zeige

${}R[M_{f}]\cong R[M]_{T^{f}}\,.$

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